Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.
Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.
Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Например, \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3} \) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 - неверное числовое неравенство.
Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 - неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.
Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.
Числовые неравенства
Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.
Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.
Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.
Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а - b положительна, т.е. а - b > 0. Неравенство а Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a Сравнить числа а и b - значит выяснить, какой из знаков >, = или Теорема. Если a > b и Ь > с, то а > с.
Теорема.
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие.
Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на
противоположный.
Теорема.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.
При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй - более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.
При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:
Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.
Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d - положительные числа, то ac > bd.
Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c Наряду со знаками строгих неравенств > и Точно так же неравенство \(a \geq b \) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.
Неравенства, содержащие знак \(\geq \) или знак \(\leq \), называют нестрогими. Например, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) - нестрогие неравенства.
Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными считались знаки > и Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными. Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.
Неравенства вида
\(ax > b, \quad ax
в которых а и b - заданные числа, а x - неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным
.
Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет.
Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.
Решение неравенств второй степени с одной переменной
Неравенства вида
\(ax^2+bx+c >0 \) и \(ax^2+bx+c
где x - переменная, a, b и c - некоторые числа и \(a \neq 0 \), называют неравенствами второй степени с одной переменной
.
Решение неравенства
\(ax^2+bx+c >0 \) или \(ax^2+bx+c
можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция \(y= ax^2+bx+c \) принимает положительные или отрицательные
значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции \(y= ax^2+bx+c \) в координатной плоскости:
куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.
Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2+bx+c \) и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой
направлены вверх при a > 0 или вниз при a 0 или в нижней при a
3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство \(ax^2+bx+c >0 \))
или ниже оси x (если решают неравенство
\(ax^2+bx+c Решение неравенств методом интервалов
Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)
Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \((5; +\infty) \)
Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.
Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:
Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
где x–переменная, а x 1 , x 2 , ..., x n – не равные друг другу числа. Числа
x 1 , x 2 , ..., x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения
разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.
Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n)
где x 1 , x 2 , ..., x n - не равные друг другу числа
Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.
Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.
Решить неравенство:
\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки \(x=0, \; x=\frac{1}{2} , \; x=-4 \)Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.
Ответ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Слайд 2
1). Определение 2). Виды 3). Свойства числовых неравенств 4). Основные свойства неравенств 4). Типы 5). Способы решения
Слайд 3
Запись вида а>в или а
Слайд 4
Неравенства вида а≥в, а≤в называется …… Неравенства вида а>в, а
Слайд 5
1). Если а>в, то вв, в>с, то а>с. 3). Если а>в, с-любое число, то а+с>в+с. 4). Если а>в, с>х, то а+с>в+х. 5). Если а>в, с>0, то ас>вс. 6). Если а>в, с о, с>0,то > . 8). Если а>о, с>0, а>с, то >
Слайд 6
1). Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при этом знак неравенства не меняется.
Слайд 7
2).Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и тоже положительное число, при этом знак неравенства не изменится. Если это число отрицательное, то знак неравенства изменится напротивоположное.
Слайд 8
ЛИНЕЙНЫЕ КВАДРАТНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Слайд 9
I).Линейное неравенство. 1). х+4
Слайд 10
1.Решить неравенства.
1). х+2≥2,5х-1; 2).х- 0,25(х+4)+0,5(3х-1)>3; 3). 4).х²+х
Слайд 11
2.Найдите наименьшие целые числа, являющиеся решениями неравенств
1.2(х-3)-1-3(х-2)-4(х+1)>0; 2.0,2(2х+2)-0,5(х-1)
Слайд 12
II).Квадратные неравенства. Способы решения: Графический С применением систем неравенств Метод интервалов
Слайд 13
1.1).Метод интервалов (для решения квадратного уравнения) ах²+вх+с>0 1). Разложим данный многочлен на множители, т.е. представим в виде а(х-)(х-)>0. 2).корни многочлена нанести на числовую ось; 3). Определить знаки функции в каждом из промежутков; 4). Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.
Слайд 14
x²+x-6=0; (х-2)(х+3)=0; Ответ: (-∞;-3)v(2;+∞). х + 2 -3 +
Слайд 15
1.Решение неравенства методом интервалов.
1). х(х+7)≥0; 2).(х-1)(х+2)≤0; 3).х-х²+2 0; 5).х(х+2)
Слайд 16
Домашняя работа: Сборник 1).стр. 109 № 128-131 Сборник 2).стр.111 №3.8-3.10; 3.22;3.37-3.4
Слайд 17
1.2).Решение квадратных неравенств графически
1). Определить направление ветвей параболы, по знаку первого коэффициента квадратичной функции. 2).Найти корни соответствующего квадратного уравнения; 3).Построить эскиз графика и по нему определить промежутки, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.
Слайд 18
Пример:
х²+5х-6≤0 y= х²+5х-6 (квадратичная функция, график парабола, а=1, ветви направлены вверх) х²+5х-6=0; корни этого уравнения: 1 и -6. у + + -6 1 x Ответ: [-6;1]. -
Слайд 19
Решите графически неравенства:
1).х²-3х 0; 3).х²+2х≥0; 4). -2х²+х+1≤0; (0;3) (-∞;0)U(4;+∞) (-∞;-2]UU. В следующем примере такая скобка используется.
Запишем ответ: х ≥ -0,5 через промежутки:
х ∈ [-0,5; +∞)
Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.
Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.
Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но - именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.
Популярные задания с неравенствами.
Сами по себе линейные неравенства просты. Поэтому, частенько, задания усложняются. Так, чтобы подумать надо было. Это, если с непривычки, не очень приятно.) Но полезно. Покажу примеры таких заданий. Не для того, чтобы вы их выучили, это лишнее. А для того, чтобы не боялись при встрече с подобными примерами. Чуть подумать - и всё просто!)
1. Найдите любые два решения неравенства 3х - 3 < 0
Если не очень понятно, что делать, вспоминаем главное правило математики:
Не знаешь, что нужно - делай, что можно!)
х < 1
И что? Да ничего особенного. Что нас просят? Нас просят найти два конкретных числа, которые являются решением неравенства. Т.е. подходят под ответ. Два любых числа. Собственно, это и смущает.) Подходит парочка 0 и 0,5. Парочка -3 и -8. Да этих парочек бесконечное множество! Какой ответ правильный?!
Отвечаю: все! Любая парочка чисел, каждое из которых меньше единицы, будет правильным ответом. Пишите, какую хотите. Едем дальше.
2. Решить неравенство:
4х - 3 ≠ 0
Задания в таком виде встречаются редко. Но, как вспомогательные неравенства, при нахождении ОДЗ, например, или при нахождении области определения функции, - встречаются сплошь и рядом. Такое линейное неравенство можно решать как обычное линейное уравнение. Только везде, кроме знака "=" (равно ) ставить знак "≠ " (не равно ). Так к ответу и подойдёте, со знаком неравенства:
х ≠ 0,75
В более сложных примерах, лучше поступать по-другому. Сделать из неравенства равенство. Вот так:
4х - 3 = 0
Спокойно решить его, как учили, и получить ответ:
х = 0,75
Главное, в самом конце, при записи окончательного ответа, не забыть, что мы нашли икс, который даёт равенство. А нам нужно - неравенство. Стало быть, этот икс нам как раз и не нужен.) И надо записать его с правильным значком:
х ≠ 0,75
При таком подходе получается меньше ошибок. У тех, кто уравнения на автомате решает. А тем, кто уравнения не решает, неравенства, собственно, ни к чему...) Ещё пример популярного задания:
3. Найти наименьшее целое решение неравенства:
3(х - 1) < 5х + 9
Сначала просто решаем неравенство. Ракрываем скобки, переносим, приводим подобные... Получаем:
х > - 6
Не так получилось!? А за знаками следили!? И за знаками членов, и за знаком неравенства...
Опять соображаем. Нам нужно найти конкретное число, подходящее и под ответ, и под условие "наименьшее целое". Если сразу не осеняет, можно просто взять любое число и прикинуть. Два больше минус шести? Конечно! А есть подходящее число поменьше? Разумеется. Например, ноль больше -6. А ещё меньше? Нам же самое маленькое из возможных надо! Минус три больше минус шести! Уже можно уловить закономерность и перестать тупо перебирать числа, правда?)
Берём число поближе к -6. Например, -5. Ответ выполняется, -5 > - 6. Можно найти ещё число, меньше -5, но больше -6? Можно, например -5,5... Стоп! Нам сказано целое решение! Не катит -5,5! А минус шесть? Э-э-э! Неравенство строгое, минус 6 никак не меньше минус 6!
Стало быть, правильный ответ: -5.
Надеюсь, с выбором значения из общего решения всё понятно. Ещё пример:
4. Решить неравенство:
7 < 3х+1 < 13
Во как! Такое выражение называется тройным неравенством. Строго говоря, это сокращённая запись системы неравенств. Но решать такие тройные неравенства всё равно приходится в некоторых заданиях... Оно решается безо всяких систем. По тем же тождественным преобразованиям.
Надо упростить, довести это неравенство до чистого икса. Но... Что куда переносить!? Вот тут самое время вспомнить, что перенос влево-вправо, это сокращённая форма первого тождественного преобразования.
А полная форма звучит вот как: К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить/отнять любое число, или выражение.
Здесь три части. Вот и будем применять тождественные преобразования ко всем трём частям!
Итак, избавимся от единички в средней части неравенства. Отнимем от всей средней части единичку. Чтобы неравенство не изменилось, отнимем единичку и от оставшихся двух частей. Вот так:
7 -1< 3х+1-1< 13-1
6 < 3х < 12
Уже лучше, правда?) Осталось разделить все три части на тройку:
2 < х < 4
Вот и всё. Это ответ. Икс может любым числом от двойки (не включая) до четвёрки (не включая). Этот ответ тоже записывается через промежутки, такие записи будут в квадратных неравенствах. Там они - самое обычное дело.
В конце урока повторю самое главное. Успех в решении линейных неравенств зависит от умения преобразовывать и упрощать линейные уравнения. Если при этом следить за знаком неравенства, проблем не будет. Чего я вам и желаю. Отсутствия проблем.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Бернулли, Коши - Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств.
Формулы основных неравенств
Формулы универсальных неравенств
Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств.
1) | a ± b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 ± a 2 ± ... ± a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |
2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |
3)
Равенство имеет место только при a 1 = a 2 = ... = a n
.
4)
Неравенство Коши - Буняковского
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α a k = β b k
для всех k = 1, 2, ..., n
и некоторых α, β, |α| + |β| > 0
.
5)
Неравенство Минковского
, при p ≥ 1
Формулы выполнимых неравенств
Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин.
1)
Неравенство Бернулли:
.
В более общем виде:
,
где ,
числа одного знака и больше, чем -1
:
.
Лемма Бернулли:
.
См. «Доказательства неравенств и леммы Бернулли ».
2)
при a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n)
.
3)
Неравенство Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
4)
Обобщенные неравенства Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
и k
натуральном
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Свойства неравенств
Свойства неравенств - это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях x i (i = 1, 2, 3, 4) , принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу.
1)
При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный.
Если x 1 < x 2
,
то x 2 > x 1
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то x 2 ≥ x 1
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то x 2 ≤ x 1
.
Если x 1 > x 2
,
то x 2 < x 1
.
2)
Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака.
Если x 1 = x 2
,
то x 1 ≤ x 2
и x 1 ≥ x 2
.
Если x 1 ≤ x 2
и x 1 ≥ x 2
,
то x 1 = x 2
.
3)
Свойство транзитивности
Если x 1 < x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Если x 1 < x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Если x 1 ≤ x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Если x 1 ≤ x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 ≤ x 3
.
4)
К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число.
Если x 1 < x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то x 1 + A ≤ x 2 + A
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то x 1 + A ≥ x 2 + A
.
Если x 1 > x 2
,
то x 1 + A > x 2 + A
.
5)
Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить.
Если x 1 < x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Если x 1 < x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4
.
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при сложении получается строгое неравенство.
6)
Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число.
Если x 1 < x 2
и A > 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
Если x 1 ≤ x 2
и A > 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Если x 1 ≥ x 2
и A > 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Если x 1 > x 2
и A > 0
,
то A · x 1 > A · x 2
.
7)
Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2
и A < 0
,
то A · x 1 > A · x 2
.
Если x 1 ≤ x 2
и A < 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Если x 1 ≥ x 2
и A < 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Если x 1 > x 2
и A < 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8)
Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга.
Если x 1 < x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 < x 2 · x 4
.
Если x 1 < x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 < x 2 · x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 < x 2 · x 4
.
Если x 1 ≤ x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0
то x 1 · x 3 ≤ x 2 · x 4
.
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при умножении получается строгое неравенство.
9)
Пусть f(x)
- монотонно возрастающая функция. То есть при любых x 1 > x 2
,
f(x 1) > f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится.
Если x 1 < x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то f(x 1) ≤ f(x 2)
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то f(x 1) ≥ f(x 2)
.
Если x 1 > x 2
,
то f(x 1) > f(x 2)
.
10)
Пусть f(x)
- монотонно убывающая функция, То есть при любых x 1 > x 2
,
f(x 1) < f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2
,
то f(x 1) > f(x 2)
.
Если x 1 ≤ x 2
,
то f(x 1) ≥ f(x 2)
.
Если x 1 ≥ x 2
,
то f(x 1) ≤ f(x 2)
.
Если x 1 > x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Методы решения неравенств
Решение неравенств методом интервалов
Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x
,
и оно имеет вид:
f(x) > 0
где f(x)
- непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, <, ≤
.
Метод интервалов заключается в следующем.
1) Находим область определения функции f(x) и отмечаем ее интервалами на числовой оси.
2) Находим точки разрыва функции f(x) . Например, если это дробь, то находим точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Отмечаем эти точки на числовой оси.
3)
Решаем уравнение
f(x) = 0
.
Корни этого уравнения отмечаем на числовой оси.
4) В результате числовая ось окажется разбитой точками на интервалы (отрезки). Внутри каждого интервала, входящего в область определения, выбираем любую точку и в этой точке вычисляем значение функции. Если это значение больше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „+“ . Если это значение меньше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „-“ .
5)
Если неравенство имеет вид: f(x) > 0
,
то выбираем интервалы с знаком „+“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0
,
то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0
.
То есть часть интервалов, возможно, будут иметь закрытые границы (граница принадлежит интервалу). другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу).
Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0
,
то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0
.
Решение неравенств, применяя их свойства
Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.