Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Понятие возведения в степень
Начнем с формулирования базовых определений.
Определение 1
Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.
То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0 , 5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени (0 , 5) 5 .
Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.
Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Пример 1
Условие: возведите - 2 в степень 4 .
Решение
Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .
Возьмем пример посложнее.
Пример 2
Вычислите значение 3 2 7 2
Решение
Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.
Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.
Пример 3
Выполните возведение в квадрат числа π .
Решение
Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .
Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .
Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:
Это понятно из записи 
.
От основания степени это не зависит.
Пример 4
Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .
Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.
В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.
Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .
Пример 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - не определен.
У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а - любое число, а z - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.
Пример 6
Возведите 3 в степень - 2 .
Решение
Используя определение выше, запишем: 2 - 3 = 1 2 3
Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .
Тогда ответ таков: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Пример 7
Возведите 1 , 43 в степень - 2 .
Решение
Переформулируем: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2
Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом: 
В итоге у нас вышло (1 , 43) - 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).
Ответ: (1 , 43) - 2 = 10000 20449
Отдельный случай - возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a - 1 = 1 a 1 = 1 a .
Пример 8
Пример: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Как возвести число в дробную степень
Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .
Определение 2
Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.
У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .
Проиллюстрируем на примере.
Пример 9
Вычислите 8 - 2 3 .
Решение
Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
После этого извлечем корень 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и результат возведем в квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.
Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.
Пример 10
Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .
Решение
Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .
А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107
Ответ: 13 501 , 25107 .
Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.
Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n < 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Как возвести число в иррациональную степень
Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.
Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:
Пример 11
Вычислите приближенное значение 21 , 174367 ....
Решение
Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0
Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.
Решение:
Как работать с математическим калькулятором
| Клавиша | Обозначение | Пояснение |
|---|---|---|
| 5 | цифры 0-9 | Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/- |
| . | точка (запятая) | Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 - будет записано 0.5 |
| + | знак плюс | Сложение чисел (целые, десятичные дроби) |
| - | знак минус | Вычитание чисел (целые, десятичные дроби) |
| ÷ | знак деления | Деление чисел (целые, десятичные дроби) |
| х | знак умножения | Умножение чисел (целые, десятичные дроби) |
| √ | корень | Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку "корня" производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2 |
| x 2 | возведение в квадрат | Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку "возведение в квадрат" производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16 |
| 1 / x | дробь | Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число |
| % | процент | Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка "%" |
| ( | открытая скобка | Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10 |
| ) | закрытая скобка | Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки |
| ± | плюс минус | Меняет знак на противоположный |
| = | равно | Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле "Решение" выводится промежуточные вычисления и результат. |
| ← | удаление символа | Удаляет последний символ |
| С | сброс | Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение "0" |
Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах
Сложение.
Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }
Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }
Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Вычитание.
Вычитание целых натуральных чисел { 7 - 5 = 2 }
Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 - (-2) = 7 }
Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 - 1,2 = 4,3 }
Умножение.
Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }
Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }
Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }
Деление.
Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }
Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }
Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }
Извлечение корня из числа.
Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }
Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }
Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }
Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }
Возведение числа в квадрат.
Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }
Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }
Перевод в десятичные дроби.
Вычисление процентов от числа
Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }
Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }
18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }
Можно возводить только в целые положительные степени. Для этого нажмите клавишу [C], введите число, а затем нажмите клавиши [X] и [=]. Число будет возведено в степень 2. Последующие нажатия клавиши [=] приведут к возведению введенного вами числа в степени 3, 4, 5, и так далее, до тех пор, пока не произойдет переполнение разрядной сетки. В последнем случае на индикаторе включится сегмент E или ERROR, а считать результат достоверным будет нельзя.
Если показатель степени значителен, подсчитывать нажатия клавиши [=] можно при помощи второго калькулятора. Последовательно нажмите на нем клавиши , [+] и [=]. Последующие нажатия на клавишу [=] приведут к появлению на индикаторе чисел 2, 3, 4, 5, и так далее. Остается нажимать клавиши [=] на обоих калькуляторах синхронно с таким расчетом, чтобы показания индикатора второго прибора соответствовали степени, в которую возведено число на первом.
Для возведения в степень на научном калькуляторе с обратной польской записью вначале нажмите клавишу [C], затем число, подлежащее возведению, затем кнопку со стрелкой вверх (на аппаратах фирмы HP - с надписью Enter), затем показатель степени, а затем клавишу . Если эта надпись расположена не на самой клавише, а над ней, то перед ней нажмите клавишу [F]. Отличить такой от научного с арифметической записью можно по отсутствию клавиши [=].
При использовании научного калькулятора с алгебраической записью вначале нажмите клавишу [C], затем число, подлежащее возведению в степень , затем клавишу (при необходимости - совместно с клавишей [F], как указано выше), затем показатель степени, а затем - клавишу [=].
Наконец, при использовании двухстрочного калькулятора с формульной записью введите в верхнюю строку все выражение в том же виде, в каком оно записано на бумаге. Для ввода знака возведения в степень используйте клавишу или [^], в зависимости от типа аппарата. После нажатия клавиши [=] результат отобразится в нижней строке.
При отсутствии калькулятора для возведения в степень можно использовать компьютер. Для этого запустите на нем программу виртуального калькулятора: в Windows - Calc, в Linux - XCalc, KCalc, Galculator и др. Переключите программу в инженерный режим, если этого не было сделано ранее. Калькулятор XCalc можно перевести в режим обратной польской записи, запустив его командой xcalc -rpn. Компиляторы языка Паскаль использовать в качестве калькуляторов не рекомендуется - команды возведения в степень там нет, и реализовывать соответствующий алгоритм приходится вручную. В интерпретаторах языка Бейсик, например, UBasic, для осуществления этой операции служит знак ^.
Процессоры современных компьютеров в состоянии выполнять сотни триллионов операций в секунду. Понятно, что такие простые задачки, как возведение числа в степень , для них пустяки. Они решаются мимоходом при выполнении серьезных задач, например, по созданию графики виртуальных миров. Но повелитель компьютера - пользователь, а раз ему хочется заниматься такими пустяками, супердракону приходится прикидываться котенком, изображая из себя программу-калькулятор.
Вам понадобится
- ОС Windows.
Инструкция
Введите исходное число. В этом интерфейсе за операциями возведения в квадрат и куб закреплены отдельные кнопки, поэтому для их выполнения вам достаточно кликнуть по кнопкам с символами x² или x³.
Если показатель степени больше тройки, после ввода -основания щелкните по кнопке с символом xʸ. Затем введите показатель степени и нажмите клавишу Enter либо кликните по кнопке со знаком равенства. Калькулятор произведет необходимые вычисления и отобразит результат.
Есть и еще один способ возведения числа в степень , который, скорее, можно назвать трюком. Чтобы им воспользоваться, введите исходное число и кликните по кнопке извлечения корня произвольной степени ʸ√x. Затем введите десятичную , которая является результатом деления единицы на показатель степени. Например, для возведения в пятую степень это должно быть число 1/5=0,2. Нажмите на кнопку Enter и получите результат возведения в степень .
Видео по теме
Степень числа разбирают в школе на уроках алгебры. В жизни такая операция выполняется редко. Например, при расчете площади квадрата или объёма куба используются степени, потому что длина, ширина, а для куба и высота – равные величины. В остальном возведение в степень чаще всего носит прикладной производственный характер.
Вам понадобится
- Бумага, ручка, инженерный калькулятор, таблицы степеней, программные продукты (например, табличный редактор Excel).
Инструкция
Пусть Х = 125, а степень числа
, т. е. n = 3. Это означает, что число 125 нужно умножить само на себя 3 раза.
125^3 = 125*125*125 = 1 953 125
Ещё .
3^4 = 3*3*3*3 = 81
При работе с отрицательным числом нужно быть аккуратным со знаками. Следует помнить, что четная степень (n) даст знак плюс, нечетная – знак .
Например
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343
Нулевая степень (n = 0) от любого числа
всегда будет равна единице.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1Если n = 1, число умножать само на себя не надо.
Будет
7^1 = 7
329^1 = 329
Инструкция
Примечание: π записывается как pi ; корень квадратный как sqrt() .
Шаг 1. В ячейки запишите число и степень.
Шаг 2. Нажмите кнопку “Возвести”.
Шаг 3. Получите результат.
Вводить можно любое число. Если в водите десятичную дробь, тогда нужно употреблять точку (2.56), а если обыкновенную дробь, тогда вводится знак “/” (2/3).
Как возвести число в степень
Возведение числа в степень – это умножение заданного числа само на себя столько раз, в какой степени оно находится. Рассмотрим на простом примере. Нам надо возвести в степень 3 цифру 7. Пример записывается так: . В ашем примере цифра 7 – это основание, а 3 – степень. Значит умножаем: 7 * 7 * 7 = 343.
Кроме того, можно возводить числа и в отрицательную степень. Для этого вспомним правило: . Всё довольно-таки просто, нужно поделить “1” на основание в указанной степени, но без знака минус. Таким образом наш пример примет другое выражение, если степень будет “-3”. Итак, возводим . Получается: = или 0,002 (1 поделили на 343).
Возведение в степень - это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.
Основные действия со степенями
В первую очередь степень - это повторяющееся умножение. Число 13 4 - это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 13 4 на 13 2 , то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 13 6 . Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:
a m × a n = a (m+n) .
Если разделить 13 4 на 13 2 , то нам потребуется вычислить дробь вида:
(13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).
Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 13 2 . Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так:
a m / a n = a (m – n) .
Теперь давайте возведем 11 4 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так:
(a m) n = a (m × n) .
Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 15 0 ? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 15 4 на 15 4 , что запишется как дробь:
Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 15 0 . Следовательно:
15 4 / 15 4 = 15 0 = 1.
Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так:
При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 8 2 на 8 4 и запишем выражение в виде дроби.
(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).
Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8 -2 . В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:
При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:
И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7 (1/2) . Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка. Степень 1/2 - это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат. Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель - возведение в степень. Математически это выглядит как:
a (m/n) есть корень n-ной степени из a m .
Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.
Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.
Примеры из реальной жизни
Депозит в банке
Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:
Рост = a × e (kt) ,
где a – начальное значение, e – константа, равная 2,718; k – коэффициент роста; t – время.
Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.
Школьная задача
Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x 2,5 . Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции. Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.
Заключение
Возведение в степень - арифметическая операция последовательного умножения. Степени имеют больше значение в прикладных науках, так как большинство реальных процессов описываются при помощи степенных функций. Используйте наш калькулятор для расчетов любых практических или школьных задач.