Арккосинус числа а . Решение уравнений cos x = a .

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 10.

Тема урока: Арккосинус числа а . Решение уравнений cos x = a .

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний.

Оборудование: компьютер, интерактивный доска, раздаточный материал, карточки по рефлексии учебной деятельности (у каждого ученика), плакат с единичной окружностью.

Цели:

Обучающие : ввести понятие арккосинуса числа а; выработать навык вычисления арксинуса числа а ; вывести формулу корней простейших тригонометрических уравнений формулу cos x = a ; научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений; изучить частные случай решения тригонометрических уравнений при а равном 0, – 1, 1.

Развивающие : развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения; развивать способность аргументировать свои утверждения; развивать умения классифицировать, сравнивать, анализировать и делать выводы.

Воспитательные : обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе; воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки; воспитывать трудолюбие и целеустремленность.

Ход урока.

1. Организационный момент , 2 мин.

Учитель. Здравствуйте ребята. Сегодня на уроке мы будем учиться. (Слайд 1)

а) кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;

б) аргументировать утверждения;

в) сравнивать, анализировать и делать выводы;

г) оценивать результаты своей учебной деятельности.

Мы помним, что каждый ученик, как всегда, имеет право (запись на доске):

высказывать свое мнение и быть услышанным;

самостоятельно планировать домашнюю самоподготовку;

знать больше учителя и отстаивать свои гипотезы.

2. Актуализация знаний , 3-4 мин.

Устный счет.

Задания проецируются на интерактивный экран. (Слайд 2 )

1. Вычислить значения: cos ; cos ; cos .

,, принадлежат какой четверти?

Точки единичной окружности ,, принадлежат 1 четверти?

Косинус какого угла есть величина положительная?

Если угол принадлежит 1 четверти.

Вывод. Косинус острого угла есть величина положительная.

2. Вычислить значения: cos ; cos ; cos .

,, принадлежат какой четверти?

Точки единичной окружности ,, принадлежат 2 четверти.

Косинус какого угла есть величина отрицательная?

Если угол принадлежит 2 четверти.

Вывод. Косинус тупого угла величина отрицательная.

3. Косинус какого угла равен ; 0; ; 1; ; –; –, если
?

3. Проверка домашней работы , 3-4мин.

3 учащихся заранее готовят на доске решения уравнений. Объяснение ведется по единичной окружности.

1 ученик

cos t = ,

t =
+ 2π k , где k Z .

Ответ: t =
+ 2π k , где k Z .

2 ученик

cos t = 1,5,

не имеет решения т.к. – 1≤ а ≤1.

Ответ: нет решений.

cos t = 1,

t = 2 π k , где k Z .

Ответ : t = 2π k , где k Z .

3 ученик

cos t = 0,

t = + π k , где k Z .

Ответ: t = + π k , k Z .

cos t = – 1,

t = π + 2π k , где k Z .

Ответ: t = π + 2π k , где k Z .

4. Изучение нового материала , 13-15 мин.

cos t = .

На доске ведет запись на основной доске рядом с примером cos t = , все остальные учащиеся слушают. Пример и единичная окружность записаны заранее.

Проговаривая алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения, ученик решает уравнение с помощью единичной окружности.

t = t 1 +2π k ,

t = t 2 +2π k , где kZ .

Т.к. t 1= – t 2, то t = ± t 1 +2π k , где kZ .

Является ли эта запись ответом решения уравнения?

Эта запись не является ответом решения уравнения, т. к. не определены значения t 1 .

Учитель. Что это за число t 1 , пока неизвестно, ясно только то, что t 1
. Столкнувшись с такой ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Поэтому был введен на рассмотрение новый символ arc с os а , который читается: арккосинус а .

Запишем тему сегодняшнего урока: «Арккосинус числа а . Решение уравнений cos t = a ».

(Слайды 3, 4)

Учитель. Сегодня на уроке мы изучим понятие арккосинус числа а, научимся его вычислять и применять при решении простейших тригонометрических уравнений. (Слайд 3)

Arcus в переводе с латинского значит дуга , сравните со словом арка . Символ arc сos а , введенный математиками, содержит знак (arc ) , с os а – напоминание об исходной функции. (Слайд 4)

Открываем учебник на стр.89 и читаем определение арккосинуса.

Ученики открывают учебник и читают по книге определение, выделяя главное.

Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления.

Фронтальная работа с классом.

Косинус какого числа равен а ?

Применяя изученное определение, найдите значение выражения:

arccos ( ); arc с os ( ); arc с os ( ).

(Слайд 5)

arccos ( ) = ;

arc с os ( ) = ;

а rc с os ( ) =

Все значения а принадлежат отрезку от – 1 до 0. Какой четверти принадлежат значения арккосинуса а ?

Значения arcos а принадлежат отрезку от 0 до .

А как же вычислить значение arccos (– а) ? Обратимся к учебнику и найдем формулу, по которой вычисляется значение arcos (– а) (Читаем и выделяем формулу).

Вычислить: arccos (– ); arc с os (– );

а rc с os (– ). (Слайд 6)

arccos (– )= ;

а r с cos (– ) = ;

а r с cos (– ) =

Все значения (– а) принадлежат отрезку от – 1 до 0. Какой четверти принадлежат значения arccos (–а) ?

Запишите справочный материал. (Слайд 6)

Значения arc с os (–а) принадлежат отрезку от до π .

Учащиеся записывают формулу в тетрадь.

Вычисляем по слайду на интерактивной доске.

Задание. Найти значение выражения:

а ) arccos () – arccos (–) + + arcos 1; ( Слайд 7)

б ) 2arccos 0 + 3 arccos 1 – arcos (–) ( Слайд 8)

5. Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой). (Слайд 9)

2 человека работают у доски самостоятельно, остальные работают в тетрадях, затем проверяют правильность выполнения. Те, кто работал с дом заданием, у доски пишут на листочка, затем сдают их на проверку.

cos t = , которое решала…. Зная понятия арккосинуса, теперь мы можем записать ответ решения этого уравнения следующим образом.

cos t = .

Урок к разделу: «Тригонометрические уравнения», 10 класс

Тема урока: «Уравнение cos х = а».

Тип занятия : формирование новых знаний, умений и навыков

Цели урока:

-образовательная

рассмотреть решения простейших тригонометрических уравнений типа cosx=a.

-воспитательная

воспитывать навыки культуры труда;

-развивающие

развивать чувство ответственности и навыки самостоятельного труда и самоконтроля;

развивать логическое мышление;

вырабатывать умение классифицировать и обобщать;

развивать умение задавать вопросы.

Оборудование: интерактивная доска c мультимедийным проектором и компьютером, таблицы с формулами, презентация.

Задачи урока:

1). Учащиеся повторяют основные понятия темы.

2). Учащиеся решают уравнения типа cos х = а.

Методические приемы: прием кластера («гроздья»), прием «верите ли вы?» (на стадии вызова), «продвинутая лекция» (стадия осмысления), комментированное решение уравнений, самостоятельная работа учащихся (стадия рефлексии).

Урок был дан с использованием элементов технологии критического мышления.

Ход урока :

Вызов

I. Урок начинается с вопроса к классу: «На доске записана тема нашего урока. На какие вопросы вы хотели бы получить сегодня ответы?»

В ходе обсуждения на доске появляется схема (кластер):

cos х = а.

П. Работа с таблицей «Верите ли Вы, что...?», («Верно ли, что …?»):

1). Уравнение cos х = а имеет бесконечно много корней;

2). cos х – абсцисса точки единичной окружности;

3). На отрезке [о;π] уравнение cos х = ½ имеет 1 корень;

4). arccos a - угол из промежутка [-π /2; π/2], косинус которого равен а (|а |≤1);

5). arccos (-а) = π - arccos а;

6). Уравнения cos х = 1; cos х = -1; cos х = 0 имеет одну серию корней?

В вопросы специально включены неверные формулировки.

Учащиеся работают в парах, заполняя графу (1) таблицы («+» - да; «‑» - нет). Затем без обсуждения на доске заполняется та же графа (1) таблицы «Верите ли Вы, что...?». Карточки с таблицей лежат на каждой парте.

Осмысление

III. «Продвинутая лекция».

Задание: учащиеся, сидящие на I варианте, следят за кластером (схемой), учащиеся, сидящие на II варианте, пишут краткий конспект лекции.

a) cos х - абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р 0 (1;0) на угол х вокруг начала координат.

Т. е., при а меньшем, чем -1 и большем, чем 1 , уравнение cos x = а не имеет корней. Решим уравнение cos х = 3/2. (Ответ: корней нет).

б). Решим уравнение cos x = 1/2.

π /3 + 2 π k , k є Z.

-π /3 + 2 π k , k є Z.

Ответ: ± π/3 + 2 π k , k є Z .

Уравнение cos х =1/2 имеет бесконечно много корней, но на отрезке это уравнение имеет 1 корень π /3, который называют arccos 1/2 .

Записывают: arccos 1/2 = π /3.

в) аналогично решим уравнения:

cos x = a , где |а|≤1:

arccos a

- arccos a

Ответ: x = ± arccos a + 2 π k, k є Z.

Напомним, что arccos (-a) = π - arccos a.

arccos (- а ) arccos (- а )

г). частные случаи:

1). cos x = 1 x = 2π k , k є Z .

2). cos x = -1 x = π + 2π k , k є Z .

3). cos x = 0 x = π/2 + π k , k є Z .

IV. Работа в парах с кластером и таблицей «Верно ли, что...?». Четыре пары работают с кластером, остальные с таблицей (заполняется графа 2).

На работу дается 2 минуты, еще 5 минут ‑ на проверку, обсуждение и оформление на доске. При проверке таблицы (она вычерчена на доске) сопоставляются полученные знания с исходными и выделяются ярким цветом правильные ответы.

Рефлексия

V . Теперь, когда получены формулы корней тригонометрического уравнения cos х = а , учащиеся комментируют и решают на доске уравнения:

2). 3cos х/3 = 2

Самостоятельная работа учащихся:

1). 2cos 3x = -1,

2). 2cos (x + π / 3) = -1,

3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,

4). сos 2x(2cos x + 2) = 0.

Результат выполнения самостоятельной работы проверяется.

Что я узнал нового;

Как изменились мои знания;

Что я буду с этим делать?

VI. Контрольный срез урока.

I в .: cos 2x=√2/2 II в .: cos (x/2)= √3/2.

VII. Домашнее задание
§ 33, №№ 571-573.

ЛИТЕРАТУРА

1). Алгебра и начала анализа 10 - 11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин. – М.: Просвещение, 2013.

2). Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. М.И.Шабунин, М.В. Ткачёва, 2012.

3). Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 класса. А.П. Ершова, В.В. Голобородько – М.:ИЛЕКСА, 2011.

4). Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. С.М.Саакян, А.М.Гольдман, Д.В. Денисов.– М.: Просвещение, 2011.

Интернет – ресурсоы:

Министерство образования РФ: http://www.ed.gov.ru/ ; http://www.edu.ru

Тестирование online: 5 - 11 классы: http://www.kokch.kts.ru/cdo

Сеть творческих учителей: http://it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com ,

Сайт Александра Ларина (подготовка к ЕГЭ): http://alexlarin.narod.ru/ege.html

Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main

Путеводитель «В мире науки» для школьников: http://www.uic.ssu.samara.ru

Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: http://mega.km.ru

сайты «Энциклопедий»: http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclopedia.ru

сайт для самообразования и он-лайн тестирования: http://uztest.ru/

Уроки 34-35. Тригонометрические уравнения

09.07.2015 4523 0

Цель: рассмотреть решение тригонометрических уравнений.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

arctg х.

2. Постройте график функции:

3. Вычислите

Вариант 2

1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции у = arcctg х.

2. Постройте график функции:



3. Вычислите

III. Изучение нового материала

Рассмотрим решение некоторых типов тригонометрических уравнений. Для этого необходимо с помощью преобразований данное уравнение свести к одному из простейших уравнений – sin x = a , cos х = a , tg х = a , ctg х = a , решение которых можно записать.

1. Простейшие тригонометрические уравнения

Еще раз напомним решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Решения уравнений sin x = а (где | a | ≤ 1) имеют вид:

2. Решения уравнений cos x = а (где |а| ≤ 1) имеют вид:

3. Решения уравнений tg x = а имеют вид:

4. Решения уравнений ctg x = а имеют вид:

При решении уравнений sin x = 0; ±1 и cos x = 0; ±1 (частные случаи) удобнее пользоваться не общими формулами, а использовать числовую окружность, тогда получим:



Пример 1

Для уравнения sin x = 1 покажем предпочтительность использования числовой окружности.

Сначала запишем решения уравнения sin x = 1, применяя общую формулу Для нескольких значений n такие решения приведены в таблице.

Из данных таблицы видно, что при использовании формулы каждое решение повторяется по два раза. Кроме того, выражение более громоздко по сравнению с формулой которая получается при рассмотрении числовой окружности.

Пример 2

Найдем решения уравнения принадлежащие отрезку .

Решим данное уравнение, используя числовую окружность. Получим: Отберем те решения, которые принадлежат отрезку . По условию получим неравенство Решим это неравенство: В этот промежуток попадают три целых значения n : n = 0, 1, 2. Для этих значении n найдем соответствующие решения:

Пример 3

Решим уравнение

Используя общую формулу, получим: Тогда

2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений

Для решения более сложных уравнений используют метод введения новой переменной и метод разложения на множители. Рассмотрим сначала метод введения новой переменной.

Пример 4

Решим уравнение:

а) Введем новую переменную z = cos x корни которого z 1 = 1 и z 2 = 2/3. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие уравнения cos x = 1 и cos x = 2/3. Решения первого уравнения x = 2π n , решения второго уравнения

б) Используя формулу в уравнении перейдем к функции sin x . Получим: или Далее поступаем аналогично пункту а. Введем новую переменную z = sin x и получим квадратное уравнение корни которого z 1 = 2 и z 2 = 1/3. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие уравнения sin х = 2 (решений не имеет) и sin х = 1/3 (его решения ).

Теперь обсудим второй метод - метод разложения на множители. При его применении уравнение f (x ) = 0 записывают в виде , тогда или f 1 (x ) = 0, или f 2 (х) = 0. Таким образом, задача сводится к решению совокупности уравнений

Пример 5

Решим уравнение:

а) Левая часть уравнения уже разложена на множители. Задача сводится к решению совокупности уравнений tg х - 1 = 0 (или tg x = 1) и cos x + 1/2 = 0 (или cos x = -1/2). Решения первого уравнения решения второго уравнения

б) Вынесем cos 3 x за скобки и получим: Теперь необходимо решить совокупность уравнений cos 3 x = 0 и (или ). Решая первое уравнение, найдем: и Решая второе уравнение, получим:

Уточним рассматриваемый метод. Из уравнения следует, что или f 1 (x ) = 0 (при этом выражение f 2 (х) имеет смысл), или f 2 (х) = 0 (при этом выражение f 1 (х) имеет смысл).

Пример 6

Решим уравнение ctg x (cos + 1) = 0.

Из уравнения ctg x = 0 находим: из уравнения cos х + 1 = 0 (или cos х = -1) получим: x = π + 2π n . Но при таких значениях х выражение ctg x не имеет смысла. Поэтому решения данного уравнения х = π/2 + п n .

3. Однородные тригонометрические уравнения

Теперь обсудим часто встречающийся вид уравнений - однородные уравнения.

Определение. Уравнение вида (где а ≠ 0, b ≠ 0) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Уравнение вида (где а ≠ 0) называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Рассмотрим сначала решение однородных тригонометрических уравнений первой степени Убедимся, что cos х ≠ 0. Предположим, что cos х = 0, и подставим эту величину в данное уравнение. Получим: a sin х = 0. Так как а ≠ 0, то sin x = 0. Очевидно, что равенства cos x = 0 и sin x = 0 одновременно выполняться не могут, так как равенство sin 2 x + cos 2 x = 1 не выполняется.

Так как cos x ≠ 0, то cos x . Получим: или откуда и

Пример 7

Решим уравнение

Разделим все члены уравнения на и получим: Найдем и

Пример 8

Решим уравнение

Учтем четность функции косинуса и формулы приведения. Получим: или Разделим обе части уравнения на cos 3 x . Имеем: 2 tg 3 x = -1, откуда tg 3 x = -1/2,

Рассмотрим теперь решение однородного тригонометрического уравнения второй степени Убедимся, что cos х ≠ 0. Подставим значение cos х = 0 в данное уравнение и получим: a sin 2 х = 0. Так как а ≠ 0, то имеем: sin х = 0. Но равенства cos х = 0 и sin х = 0 одновременно выполняться не могут.

Так как cos x ≠ 0, то разделим все члены уравнения на cos 2 x и получим: или Введем новую переменную z = tg x и придем к квадратному уравнению az 2 + bz + c = 0. Решаем это уравнение. Потом возвращаемся к старой переменной, получаем простейшие тригонометрические уравнения и находим их решения.

Пример 9

Решим уравнение

Разделим все члены уравнения на cos 2 x и получим: tg 2 x – tg x - 2 = 0. Введем новую переменную z = tg x и получим квадратное уравнение z 2 - z - 2 = 0, корни которого z 1 = -1 и z 2 = 2. Вернемся к старой переменной. Имеем простейшие тригонометрические уравнения tg х = -1 (его решения ) и tg х = 2 (его решения ).

Пример 10

Решим уравнение

Данное уравнение не является однородным, так как в правой части стоит число 1, а не число 0. Если учесть равенство sin 2 х + cos 2 х = 1, то уравнение легко свести к однородному. Получим: или Разделим все члены уравнения на cos 2 x . Имеем: tg 2 x + 5 tg x + 4 = 0. Введем новую переменную z = tg x и получим квадратное уравнение z 2 + 5 z + 4 = 0, корни которого z 1 = -1 и z 2 = -4. Вернемся к старой переменной. Получим простейшие тригонометрические уравнения tg x = -1 (его решения ) и tg х = -4 (его решения ).

Пусть в однородном тригонометрическом уравнении коэффициент a = 0. Тогда уравнение имеет вид: В этом случае делить на cos 2 x нельзя, так как cos х может равняться нулю. Поэтому надо использовать метод разложения на множители. Получим Имеем простейшее тригонометрическое уравнение cos x = 0 и однородное тригонометрическое уравнение первой степени Такие уравнения мы решать уже умеем.

Пример 11

Решим уравнение

Разложим левую часть уравнения на множители: Произведение двух множителей равно нулю. Поэтому один из множителей равен нулю. Получаем простейшее тригонометрическое уравнение cos х = 0 (его решения ) и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка или (его решения ).

Метод разложения на множители также используется и в случае, когда коэффициент с = 0. Тогда уравнение имеет вид: или Вновь получаем простейшее тригонометрическое уравнение sin х = 0 и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка которые решаются аналогично примеру 11.

Рассмотрение примеров 9-11 позволяет сформулировать алгоритм решения уравнения

1. Если коэффициент а не равен нулю, то все члены уравнения делят на cos 2 x . Вводят новую переменную z = tg х и получают квадратное уравнение. Находят корни этого уравнения и возвращаются к старой неизвестной. Получают простейшие тригонометрические уравнения и решают их.

2. Если коэффициенты а и с равны нулю, то используют метод разложения на множители. При a = 0 выносят за скобки cos х, при с = 0 выносят sin x . Получают простейшее тригонометрическое уравнение и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка и решают их.

IV. Контрольные вопросы

1. Решения простейших тригонометрических уравнений.

2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.

3. Определение однородного тригонометрического уравнения первой и второй степеней.

4. Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени.

5. Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени.

V. Задание на уроках

§ 18, № 3 (а, в); 5 (а, б); 6 (б); 8 (г); 10 (а, б); 11 (в); 12 (а); 13 (в); 16; 18; 20 (а); 21 (а, б); 23 (а); 27 (а, б); 30 (а); 31; 33 (а); 34 (б); 35 (а).

VI. Задание на дом

§ 18, № 3 (б, г); 5 (в, г); 6 (г); 8 (б); 10 (в, г); 11 (а); 12 (б); 13 (г); 17; 19; 20 (б); 21 (в, г); 23 (б); 27 (в, г); 30 (б); 32; 33 (б); 34 (а); 35 (б).

VII. Подведение итогов уроков

Урок к разделу: «Тригонометрические уравнения», 10 класс

Тема урока: «Уравнение cos х = а».

Тип занятия : формирование новых знаний, умений и навыков

Цели урока:

образовательная

рассмотреть решения простейших тригонометрических уравнений типа cosx=a.

воспитательная

воспитывать навыки культуры труда;

развивающие

развивать чувство ответственности и навыки самостоятельного труда и самоконтроля;

развивать логическое мышление;

вырабатывать умение классифицировать и обобщать ;

развивать умение задавать вопросы .

Оборудование :

интерактивная доска c мультимедийным проектором и компьютером, таблицы с формулами, презентация .

Задачи урока:

1). Учащиеся повторяют основные понятия темы.

2). Учащиеся решают уравнения типа cos х = а.

Методические приемы: прием кластера («гроздья»), прием «верите ли вы?» (на стадии вызова), «продвинутая лекция» (стадия осмысления), комментированное решение уравнений, самостоятельная работа учащихся (стадия рефлексии).

Урок был дан с использованием элементов технологии критического мышления.

Урок в технологии критического мышления имеет трехфазную структуру :

Вызов ;

Осмыслениие (реализация) ;

Рефлексия .

Ход урока :

Стадия вызова

I. Урок начинается с вопроса к классу: «На доске записана тема нашего урока. На какие вопросы вы хотели бы получить сегодня ответы?»

В ходе обсуждения на доске появляется схема (кластер):

cos х = а.

название

уравнения

способы

решения

применения

общая

формула

частные

случаи

П. Работа с таблицей «Верите ли Вы, что...?», («Верно ли, что …?»):

1). Уравнение cos х = а имеет бесконечно много корней;

2). cos х – абсцисса точки единичной окружности;

3). На отрезке [о;π] уравнение cos х = ½ имеет 1 корень;

4). arccos a - угол из промежутка [-π /2; π/2], косинус которого равен а (| а |≤1);

5). arccos (-а) = π - arccos а;

6). Уравнения cos х = 1; cos х = -1; cos х = 0 имеет одну серию корней?

В вопросы специально включены неверные формулировки.

Учащиеся работают в парах, заполняя графу (1) таблицы («+» - да; «» - нет). Затем без обсуждения на доске заполняется та же графа (1) таблицы «Верите ли Вы, что...?». Карточки с таблицей лежат на каждой парте.

Осмысление

III. «Продвинутая лекция».

Задание: учащиеся, сидящие на I варианте , следят за кластером (схемой), учащиеся, сидящие на II варианте, пишут краткий конспект лекции.

a) cos х - абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р 0 (1;0) на угол х вокруг начала координат.

Т. е., при а меньшем, чем -1 и большем, чем 1 , уравнение cos x = а не имеет корней . Решим уравнение cos х = 3/2. ( Ответ: корней нет).

б). Решим уравнение cos x = 1/2.

π /3 + 2 π k , k є Z .

-π /3 + 2 π k , k є Z .

Ответ : ± π/3 + 2 π k , k є Z .

Уравнение cos х =1/2 имеет бесконечно много корней, но на отрезке это уравнение имеет 1 корень π /3, который называют arccos 1/2 .

Записывают: arccos 1/2 = π /3.

в) аналогично решим уравнения:

cos x = a , где | а |≤1:

arccos a

- arccos a

Ответ : x = ± arccos a + 2 π k, k є Z.

Напомним , что arccos (-a) = π - arccos a.

arccos (- а ) arccos (- а )




г). частные случаи:

1). cos x = 1



Ответ:

x = 2π k , k є Z .

2). cos x = - 1



Ответ:

x = π + 2π k , k є Z .

3). cos x = 0



Ответ:

x = π/2 + π k , k є Z .

IV. Работа в парах с кластером и таблицей «Верно ли, что...?». Четыре пары работают с кластером, остальные с таблицей (заполняется графа 2).

На работу дается 2 минуты, еще 5 минут на проверку, обсуждение и оформление на доске. При проверке таблицы (она вычерчена на доске) сопоставляются полученные знания с исходными и выделяются ярким цветом правильные ответы.

Рефлексия

V . Теперь, когда получены формулы корней тригонометрического уравнения cos х = а , учащиеся комментируют и решают на доске уравнения:

1). с os 5x = 1

2). 3cos х /3 = 2

3). cos 7x = 5

Самостоятельная работа учащихся:

1). 2 cos 3 x = -1,

2). 2cos (x + π / 3) = -1,

3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,

4). с os 2 x (2 cos x + 2) = 0.

В продолжение предыдущей темы, в которой рассматривались примеры решения тригонометрических функций, этот видеоурок знакомит учащихся с арккосинусом и решением уравнения cos t = a.

Рассматривается пример решения уравнения cos t =1/4 . Используя числовую окружность, находим точки с координатой х = 1/4, на графике отметим эти точки как M(t 1) и N(t 2).

На графике видно, что t 1 - это длина АМ, а t 2 - это длина AN. По-другому можно сказать, что t 1 = arccos 1/4; t 2 = - arccos 1/4. Решение уравнения t = ± arccos ¼ + 2πk.

Таким образом, arccos 1/4- это число (длина АМ), косинус которого равен 1/4. Это число принадлежит отрезку от 0 до π/2, т.е. первой четверти окружности.

Далее рассматривается решение уравнения cos t = - 1/4. По аналогии с предыдущим примером, t = ± arccos (-1/4 + 2πk. Можно сказать, чтоarccos (-1/4 - это число (длина дуги АМ), косинус которого равен - ¼ и это число принадлежит II четвертиокружности, т.е. отрезкуот π/2 до π.

Исходя из двух примеров, дается определение арккосинусу: если модуль а меньше или равен 1, то arccos а это такое число из отрезка от 0 до π, косинус которого равен а. Тогда выражение cos t = a при модуле а меньше или равно 1 может иметь вид t = ± arccos a + 2πk. Далее указаны значения t при cos t = 0; cos t = 1; cos t = - 1.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arcсos. Укажем, что данное значение arcсos равно t , следовательно, cos t равен этому значению, где t принадлежит отрезку от 0 до π. Пользуясь таблицей значений, найдем, что cos t соответствует значение t =π/6. Найдем соответствующее значение косинуса, где π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Разберем пример 2. Вычислить arcсos отрицательного числа. Допустим, что arcсos этого числа равен, следовательно, cos t равен этому числу, где t принадлежит отрезку от 0 до π. По таблице значений увидим, какое значение соответствует cos t, это t = 5π/6. Т.е. cos 5π/6 это минус корень из трех, деленный на два, где 5π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Далее автор рассматривает теорему: для любого а, принадлежащего отрезку от минус одного до одного, действительно равенство arccos a + arccos (-a) =π.При доказательстве для определенности считаем, что а > 0, тогда - а < 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.

Когда а > 0, arccos a принадлежит I четверти окружности (отмечено на рисунке), а когда а < 0, arccos a принадлежит II четверти.

Рассмотрим еще один пример. Решить выражение, где cos t равен отрицательному числу. Запишем, чему в данном случае равно t.Тогда найдем величину арккосинуса, это 3π/4. Подставим найденное значение arcсos в значение t и получим, что t = ± 3π/4+ 2πk.

Разберем решение неравенства cos t. Для решения нам необходимо на числовой окружности найти точки, в которых х равен значению косинуса. Это точки со значениями π/4 и - π/4. Как видно на рисунке, длина дуги MN это - π/4≤ t ≤π/4. Значит ответом неравенства будет - π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Арккосинус. Решение уравнения cost = a

Рассмотрим решение уравнения cost = .

Учитывая, что cos t - это абсцисса точки М(t) (эм от тэ) числовой окружности, найдем на числовой окружности точки с абсциссой



На числовой окружности отметим точки М(t 1), N(t 2) - точки пересечения прямой х= с этой окружностью.

t 1 - это длина дуги АМ, t 2 - это длина дуги АN, t 2 = - t 1.

Когда математики впервые встретились с подобной ситуацией, они ввели новый символ arccos

arccos (арккосинус одной четвертой).

Тогда t 1 = arccos; t 2 = - arccos

И тогда корни уравнения cost = можно записать двумя формулами:

t = arccos + 2πk, t = - arccos + 2πk или t = arccos + 2πk.

Что значит arccos ?

Это число

(длина дуги АМ), косинус которого равен одной четвертой и это число принадлежит первой четверти, то есть отрезку .

Теперь рассмотрим уравнение

cost = - . Аналогично решению предыдущего уравнения, запишем

t = arccos) + 2πk.

Как понимать arccos(-)? Это число

(длина дуги АМ), косинус которого равен минус одной четвертой и это число принадлежит второй четверти, то есть отрезку [; ].

Дадим определение арккосинусу:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть | а | 1(модуль а меньше либо равно единице). Арккосинусом а называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.(рис.1)

ПРИМЕР 1. Вычислить arсcos.(арккосинус корень из трех на два)

Решение. Пусть arсcos = t. Тогда cost = и t [ ; ](тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Вспомним значению cos соответствует

(Показать таблицу значений) Значит, t = (пи на шесть), так как cos = и . Значит, arсcos = .

arcos - это длина дуги, но длина дуги окружности это - t в определении cost

(Условно можно сказать что арккосинус это «значение угла», на который ушла точка от М от точки А, если вспомните то мы число t вводили как часть длины окружности, радиуса равного 1(одному), и тогда 2π- вся окружность равна 360°, π- половина окружности =180°, ==60°)



ПРИМЕР 2. Вычислить arсcos(- (арккосинус минус корень из трех на два).

Решение. Пусть arсcos(-) = t. Тогда cost = и t [ ; ](тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Значит, t = (пять пи на шесть), так как cos = - и [; ]. Итак, arсcos) = .

Докажем ТЕОРЕМУ. Для любого а [; ](а из отрезка от минус единицы до единицы) выполняется равенство arccosа+ arccos(-а) = π(сумма арккосинуса а и арккосинуса минус а равна пи).

Доказательство. Для определенности будем считать, что а 0, тогда - а 0. На числовой окружности отметим arcos а (это длина дуги АК) и

arccos(-а) (это длина дуги АТ) (смотри рис. 2)

Из доказанной теоремы следует: arcos (-а) = π - arcos а (арккосинус минус а равен разности пи и арккосинуса а), где 0 а 1(где а больше либо равно нулю и меньше либо равно единице).

Когда а > 0, считают, что arcosа принадлежит первой четверти числовой окружности.

Когда а < 0 считают, что arcosа принадлежит второй четверти числовой окружности.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение cost = - .

Решение. Составим формулу решений: t = arccos(-)+ 2πk.

Вычислим значения арккосинуса: arccos(-) = π - arсcos = π - = .

(Согласно соотношению arccos(-) = π - arсcos arсcos , то подставив данное значение в формулу, получим, что arccos(-) =) .

Подставим найденное значение в формулу решений t = arccos(-)+ 2πk и получим значение t: t = + 2πk.

ПРИМЕР 4.Решить неравенство cost .

Решение. Мы знаем, что cost - это абсцисса точки М(t) на числовой окружности. Это значит, что нужно найти такие точки М(t) на числовой окружности, которые удовлетворяют неравенству х.

Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках М и N.



Неравенству х соответствуют точки открытой дуги МN. Точке М соответствует, а точке N -

- (минус пи на четыре).

Значит, ядром аналитической записи дуги МN является неравенство

T , а сама аналитическая запись дуги МN имеет вид