Пример:

Запятая в десятичной дроби отделяет:
1) целую часть от дробной;
2) столько знаков, сколько нулей в знаменателе обыкновенной дроби.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Например, $0,35$ читается как «ноль целых, тридцать пять сотых». Так и пишем: $0 \frac{35}{100}$. Целая часть равна нулю, то есть ее можно просто не писать, а дробную часть – сократить на $5$.
Получим: $0,35=0\frac{35}{100}=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$.
Еще примеры: $2,14=2\frac{14}{100}=\frac{214}{100}=\frac{107}{50}$;
$7,026=7\frac{26}{1000}=\frac{7026}{1000}$.

Этот переход можно делать и быстрее:

Запишите в числитель все число без запятой, а в знаменатель – единицу и столько нулей, столько цифр было отделено запятой.

Звучит сложно, поэтому смотрите картинку:

Как обыкновенную дробь перевести в десятичную?

Для этого надо домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилось $10$, $100$, $1000$ и т.д., а потом записать результат в десятичном виде.

Примеры: $\frac{3}{5}$ $=$$\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}$ $=$$\frac{6}{10}$ $=0,6$; $\frac{63}{25}$ $=\frac{63 \cdot 4}{25\cdot 4}$ $=$$\frac{252}{100}$ $=2,52$; $\frac{7}{200}$ $=$$\frac{7 \cdot 5}{200\cdot 5}$ $=$$\frac{35}{1000}$ $=0,035$.

Этот способ хорошо работает, когда в знаменателе дроби: $2$, $5$, $20$, $25$… и т.д., то есть когда сразу понятно, на что надо домножать. Однако в остальных случаях:

Для превращения обыкновенной дроби в десятичную нужно поделить числитель дроби на ее знаменатель.

Например , дробь $\frac{7}{8}$ проще преобразовать делением $7$ на $8$, чем догадываться, что $8$ можно домножить на $125$ и получить $1000$.

Далеко не все обыкновенные дроби без проблем превращаются в десятичные. Точнее, превращаются-то все, но вот записать результат такого превращения бывает весьма трудно. Например, дробь $\frac{9}{17}$ в десятичном виде будет выглядеть как $0,52941…$ - и так далее, бесконечный ряд неповторяющихся цифр. Такие дроби обычно оставляют в виде обыкновенных.

Однако некоторые дроби, дающие бесконечный ряд цифр в десятичном виде записаны быть могут. Так происходит в случае, если цифры в этом ряду повторяются. Например, дробь $\frac{2}{3}$ в десятичном виде выглядит так $0,66666…$ - бесконечный ряд шестерок. Ее записывают вот так: $0,(6)$. Содержимое скобки – это как раз и есть бесконечно повторяющаяся часть (так называемый период дроби).

Еще примеры: $\frac{100}{27}$ $=$$3,7037037037…=3,(703)$.
$\frac{579}{110}$ $=5,2636363636…=5,2(63)$.

Виды десятичных дробей:

Сложение и вычитание десятичных дробей

Сложение (вычитание) десятичных дробей выполняется так же, как сложение (вычитание) : главное, чтобы запятая во втором числе стояла под запятой в первом.

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Потом сложить количество знаков после запятой в первом числе и во втором, а затем отделить полученное количество знаков в итоговом числе, считая справа налево.

Лучше $1$ раз посмотреть на картинку, чем $10$ раз прочитать, поэтому наслаждайтесь:

Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо перенести запятую во втором числе (делителе) до тех пор, пока оно не станет целым. Потом на столько же перенести запятую в первом числе (делимом). Затем нужно разделить получившиеся числа как обычно. При этом в ответе нужно будет не забыть поставить запятую сразу же, как мы «перейдем за запятую» в делимом.

Снова картинка объяснит принцип лучше любого текста.

На практике бывает легче представлять деление как обыкновенную дробь, потом домножением числителя и знаменателя убирать запятые (или просто сразу передвигать запятые, как делали выше), а затем сокращать получившиеся числа.

$13,12:1,6=$$\frac{13,12}{1,6}$ $=$$\frac{13,12·100}{1,6·100}$ $=$$\frac{1312}{160}$ $=$$\frac{328}{40}$ $=$$\frac{82}{10}$ $=8,2$.

Пример . Вычислите $0,0625:($$\frac{1}{8}$ $+$$\frac{5}{16}$ $)\cdot 2,8$.

Решение :

$0,0625:($$\frac{1}{8}$ $+$$\frac{5}{16}$ $)\cdot 2,8=$

Дроби

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например:

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".

3. Смешанные числа , например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Например. $\frac{3}{10}, 4 \frac{7}{100}, \frac{11}{10000}$

Такие дроби обычно записывают без знаменателя , а значение каждой цифры зависит от места, на котором она стоит. Для таких дробей целая часть отделяется запятой, а после запятой должно быть столько цифр, сколько нулей имеет единица в знаменателе обыкновенной дроби. Цифры дробной части называются десятичными знаками.

Например. $\frac{21}{100}=0,21 ; 3 \frac{21}{100}=3,21$

Первый десятичный знак после запятой соответствует десятым, второй - сотым, третий - тысячным и т.д.

Если количество нулей в знаменателе десятичной дроби больше, чем количество цифр в числителе этой же дроби , то после десятичной запятой перед цифрами числителя дописывается нужное количество нулей.

Так как нулей в знаменателе четыре штуки, а цифр в числителе две, то в десятичной записи дроби перед числителем дописываем $4-2=2$ нуля.

Основное свойство десятичной дроби

Свойство

Если к десятичной дроби справа дописать несколько нулей, то величина десятичной дроби не изменится.

Например. $12,034=12,0340=12,03400=12,034000=\ldots$

Замечание

Таким образом, нули в конце десятичной дроби не учитываются, поэтому при выполнении различных действий эти нули можно зачеркнуть/отбросить.

Сравнение десятичных дробей

Чтобы сравнить две десятичные дроби (выяснить, какая из двух десятичных дробей больше), надо сравнить их целые части, затем десятые, сотые и т.д. Если целая часть одной из дробей больше целой части другой дроби, то первая дробь считается большей. В случае равенства целых частей больше та дробь, у которой десятых больше и т.д.

Пример

Задание. Сравнить дроби $2,432$ ; $2,41$ и $1,234$

Решение. Дробь $1,234$ является самой меньшей, так как ее целая часть равна 1, а $1

Сравним теперь по величине дроби $2,432$ и $1,234$ . Их целые части равны между собой и равны 2. Сравниваем десятые: $4=4$ . Сравниваем сотые: $3>1$ . Таким образом, $2,432>2,41$ .

Тема: Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей

Урок: Десятичная запись дробных чисел

Знаменатель дроби может быть выражен любым натуральным числом. Дробные числа, в которых знаменатель выражен числом 10; 100; 1000;…, где n , условились записывать без знаменателя. Любое дробное число, в знаменателе которого 10; 100; 1000 и т.д. (то есть единица с несколькими нулями), можно представить в виде десятичной записи (в виде десятичной дроби). Сначала пишут целую часть, затем числитель дробной части, и целую часть от дробной отделяют запятой.

Например,

Если целая часть отсутствует, т.е. дробь правильная, тогда целую часть записывают в виде 0.

Чтобы правильно записать десятичную дробь, числитель дробной части должен иметь столько же знаков, сколько нулей в дробной части.

1. Запишите в виде десятичной дроби.

2. Представить десятичную дробь в виде дроби или смешанного числа.

3. Прочитайте десятичные дроби.

12,4 - 12 целых 4 десятых;

0,3 - 0 целых 3 десятых;

1,14 - 1 целая 14 сотых;

2,07 - 2 целых 7 сотых;

0,06 - 0 целых 6 сотых;

0,25 - 0 целых 25 сотых;

1,234 - 1 целая 234 тысячных;

1,230 - 1 целая 230 тысячных;

1,034 - 1 целая 34 тысячных;

1,004 - 1 целая 4 тысячных;

1,030 - 1 целая 30 тысячных;

0,010101 - 0 целых 10101 миллионных.

4. Перенесите запятую в каждой цифре на 1 разряд влево и прочитайте числа.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Перенесите запятую в каждом из чисел на 1 разряд вправо и прочитайте получившееся число.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Выразите в метрах и сантиметрах.

3,28 м = 3 м + .

7. Выразите в тоннах и килограммах.

24,030 т = 24 т .

8. Запишите в виде десятичной дроби частное.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

9. Выразите в дм.

5 дм 6 см = 5 дм + ;

9 мм =

Десятичная дробь используется, когда нужно выполнять действия с нецелыми числами. Это может показаться нерациональным. Но такой вид чисел существенно облегчает математические операции, которые с ними необходимо выполнять. Это понимание приходит со временем, когда их запись становится привычной, а прочтение не вызывает трудностей, и освоены правила десятичных дробей. Тем более что все действия повторяют уже известные, которые усвоены с натуральными числами. Только нужно запомнить некоторые особенности.

Определение десятичной дроби

Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а потом - дробная. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя. Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно разряду знаменателя.

Проиллюстрировать вышесказанное можно этими числами:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей

Математикам потребовались десятичные дроби по нескольким основаниям:

Упрощение записи. Такая дробь расположена вдоль одной линии без черточки между знаменателем и числителем, при этом наглядность не страдает.

Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести цифры, находящиеся в одинаковых позициях, в то время как с обыкновенными дробями пришлось бы приводить их к общему знаменателю.

Упрощение вычислений.

Калькуляторы не рассчитаны на введение обыкновенных дробей, они для всех операций используют десятичную запись чисел.

Как правильно прочитать такие числа?

Ответ прост: так же, как обыкновенное смешанное число со знаменателем, кратным 10. Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «ноль целых».

Например, 45/1000 нужно произнести как сорок пять тысячных , в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных .

Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, что запишется как 7,17, в обоих случаях будет прочитано как семь целых семнадцать сотых .

Роль разрядов в записи дробей

Верно отметить разряд - это то, что требует математика. Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если записать цифру не в том месте. Впрочем, это было справедливо и раньше.

Для прочтения разрядов целой части десятичной дроби нужно просто воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А в правой части они зеркально отражаются и по-другому читаются. Если в целой части звучало "десятки", то после запятой это будут уже "десятые".

Наглядно это можно увидеть в этой таблице.

Таблица разрядов десятичной дроби

класс	тысячи			единицы			,	дробная часть
разряд	сот.	дес.	ед.	сот.	дес.	ед.	,	десятая	сотая	тысячная	десятитысячная

Как правильно записать смешанное число десятичной дробью?

Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и прочие, то вопрос о том, как дробь перевести в десятичную, несложен. Для этого достаточно по-другому переписать все ее составные части. В этом помогут такие пункты:

немного в стороне написать числитель дроби, в этот момент десятичная запятая располагается справа, после последней цифры;

переместить запятую влево, здесь самое главное - правильно сосчитать цифры — передвинуть ее нужно на столько позиций, сколько нолей в знаменателе;

если их не хватает, то на пустых позициях должны оказаться нули;

нули, которые были в конце числителя, теперь не нужны, и их можно зачеркнуть;

перед запятой приписать целую часть, если ее не было, то здесь тоже окажется нуль.

Внимание. Нельзя зачеркивать нули, которые оказались окружены другими цифрами.

О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе число не только из единицы и нулей, как дробь переводить в десятичную, можно прочитать чуть ниже. Это важная информация, с которой обязательно стоит ознакомиться.

Как дробь перевести в десятичную, если знаменатель - произвольное число?

Здесь возможны два варианта:

Когда знаменатель можно представить в виде числа, которое равно десяти в любой степени.

Если такую операцию проделать нельзя.

Как это проверить? Нужно разложить знаменатель на множители. Если в произведении присутствуют только 2 и 5, то все хорошо, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если появляются 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Такую десятичную дробь для удобства использования в математических операциях принято округлять. Об этом будет речь немного ниже.

Изучает, как получаются такие десятичные дроби, 5 класс. Примеры здесь будут очень кстати.

Пусть в знаменателях находятся числа: 40, 24 и 75. Разложение на простые множители для них будет такое:

40=2·2·2·5;
24=2·2·2·3;
75=5·5·3.

В этих примерах только первая дробь может быть представлена в виде конечной.

Алгоритм перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную

Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться в том, что оно будет состоять из 2 и 5.

Добавить к этим числам столько 2 и 5, чтобы их стало равное количество. Они дадут значение дополнительного множителя.

Произвести умножение знаменателя и числителя на это число. В результате получится обыкновенная дробь, под чертой у которой стоит 10 в некоторой степени.

Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его сначала нужно представить в виде неправильной дроби. А уже потом действовать по описанному сценарию.

Представление обыкновенной дроби в виде округленной десятичной

Этот способ того, как дробь переводить в десятичную, кому-то покажется даже проще. Потому что в нем нет большого количества действий. Нужно только разделить значение числителя на знаменатель.

К любому числу с десятичной частью справа от запятой можно приписать бесконечное количество нулей. Этим свойством и нужно воспользоваться.

Сначала записать целую часть и поставить после нее запятую. Если дробь правильная, то написать ноль.

Потом полагается выполнить деление числителя на знаменатель. Так, чтобы количество цифр у них было одинаковым. То есть приписать справа у числителя нужное количество нолей.

Выполнять деление в столбик до тех пор, пока не будет набрано нужное количество цифр. Например, если округлить нужно будет до сотых, то в ответе их должно быть 3. В общем, цифр должно быть на одну больше, чем нужно получить в итоге.

Записать промежуточный ответ после запятой и округлить по правилам. Если последняя цифра - от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда она равна 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.

Возврат от десятичной дроби к обыкновенной

В математике встречаются задачи, когда десятичные дроби удобнее представить в виде обыкновенных, в которых есть числитель со знаменателем. Можно вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.

Для этой процедуры нужно сделать следующее:

записать целую часть, если она равна нулю, то ничего писать не надо;

провести дробную черту;

над ней записать цифры из правой части, если первыми идут нули, то их нужно зачеркнуть;

под чертой написать единицу с таким количеством нолей, сколько цифр стоит после запятой в первоначальной дроби.

Это все, что нужно сделать, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную.

Что можно делать с десятичными дробями?

В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее выполнялись для других чисел.

Ими являются:

сравнение;

сложение и вычитание;

умножение и деление.

Первое действие, сравнение, похоже на то, как это делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, какое больше, нужно сравнивать разряды целой части. Если они окажутся равными, то переходят к дробной и так же по разрядам сравнивают их. То число, где окажется большая цифра в старшем разряде, и будет ответом.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Это, пожалуй, самые простые действия. Потому что выполняются по правилам для натуральных чисел.

Так, чтобы выполнить сложение десятичных дробей, их нужно записать друг под другом, разместив запятые в столбик. При такой записи слева от запятых оказываются целые части, а справа — дробные. И теперь нужно сложить цифры поразрядно, как это делается с натуральными числами, снеся вниз запятую. Начинать сложение нужно с самого маленького разряда дробной части числа. Если в правой половине не хватает цифр, то дописывают нули.

При вычитании действуют так же. И здесь действует правило, которое описывает возможность занять единицу у старшего разряда. Если в уменьшаемой дроби после запятой меньше цифр, чем у вычитаемого, то в ней просто приписывают нули.

Немного сложнее обстоит дело с заданиями, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.

Как умножить десятичную дробь в разных примерах?

Правило, по которому производится умножение десятичных дробей на натуральное число, такое:

записать их в столбик, не обращая внимания на запятую;

перемножить, как если бы они были натуральными;

отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа.

Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Иными словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 - их будет уже две, и так далее. Если цифр в дробной части не хватает, то нужно записать на пустых позициях нули.

Правило, которым пользуются, когда в задании нужно произвести умножение десятичных дробей на другое такое же число:

записать их друг под другом, не обращая внимания на запятые;

умножить, как если бы они были натуральными;

отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробных частях обеих исходных дробях вместе.

Частным случаем выделяются примеры, в которых один из множителей равен 0,1 или 0,01 и далее. В них нужно выполнить перемещение запятой влево на количество цифр в представленных множителях. То есть если умножается на 0,1, то запятая сдвигается на одну позицию.

Как разделить десятичную дробь в разных заданиях?

Деление десятичных дробей на натуральное число выполняется по такому правилу:

записать их для деления в столбик, как если бы они были натуральными;

делить по привычному правилу до тех пор, пока не закончится целая часть;

поставить в ответ запятую;

продолжить деление дробной составляющей до получения в остатке нуля;

если нужно, то можно приписать нужное количество нулей.

Если целая часть равна нулю, то и в ответе ее тоже не будет.

Отдельно стоит деление на числа, равные десятке, сотне и так далее. В таких задачах нужно передвинуть запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что цифр в целой части не хватает, тогда вместо них используют нули. Можно заметить, что эта операция подобна умножению на 0,1 и подобным ей числам.

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно воспользоваться этим правилом:

превратить делитель в натуральное число, а для этого перенести в нем запятую вправо до конца;

выполнить перемещение запятой и в делимом на такое же число цифр;

действовать по предыдущему сценарию.

Выделяется деление на 0,1; 0,01 и прочие подобные числа. В таких примерах запятая сдвигается вправо на число цифр в дробной части. Если они закончились, то нужно приписать недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные ему числа.

Заключение: все дело в практике

Ничто в учебе не дается легко и без усилий. Для надежного освоения нового материала требуются время и тренировка. Математика не исключение.

Чтобы тема про десятичные дроби не вызывала затруднений, нужно решать с ними примеров как можно больше. Ведь было время, когда и сложение натуральных чисел ставило в тупик. А теперь все нормально.

Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда и задания с такими числами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.

Кстати, и головоломки поначалу решаются сложно, а потом нужно делать привычные движения. Так же и в математических примерах: пройдя по одному пути несколько раз, потом уже не будешь задумываться над тем, куда повернуть.