Способы решения многочленов. Сложные случаи разложения многочленов на множители

Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.

где - являются корнями многочлена.

Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:

Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.

Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:

П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.

Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:

П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:

П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:

П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.

Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:

Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.

Способ №2. Формулы Виета

Формулы Виета - это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 - 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.

Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,

справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:

Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения

В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:

Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.

Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями

Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами

то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p - делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):

Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом - «столбиком».

Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами . Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .

Выполним деление исходного многочлена на двучлен:

Воспользуемся схемой Горнера

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.

В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:

Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).

В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).

В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:

Способ №4. Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.

Формулы, используемые для разложения на множители

В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители . Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.

Навигация по странице.

Что значит разложить число на простые множители?

Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.

Понятно, раз в этом словосочетании присутствует слово «множители», то имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово «простые» означает, что каждый множитель является простым числом . Например, в произведении вида 2·7·7·23 присутствуют четыре простых множителя: 2 , 7 , 7 и 23 .

А что же значит разложить число на простые множители?

Это значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу. В качестве примера рассмотрим произведение трех простых чисел 2 , 3 и 5 , оно равно 30 , таким образом, разложение числа 30 на простые множители имеет вид 2·3·5 . Обычно разложение числа на простые множители записывают в виде равенства, в нашем примере оно будет таким: 30=2·3·5 . Отдельно подчеркнем, что простые множители в разложении могут повторяться. Это явно иллюстрирует следующий пример: 144=2·2·2·2·3·3 . А вот представление вида 45=3·15 не является разложением на простые множители, так как число 15 – составное.

Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?

В поисках ответа на него, приведем следующие рассуждения. Простые числа по определению находятся среди , больших единицы. Учитывая этот факт и , можно утверждать, что произведение нескольких простых множителей является целым положительным числом, превосходящим единицу. Поэтому разложение на простые множители имеет место лишь для положительных целых чисел, которые больше 1 .

Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?

Понятно, что простые целые числа разложить на простые множители нет возможности. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя – единицу и самого себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z можно было бы представить в виде произведения простых чисел a и b , то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z делится и на a и на b , что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением.

А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на ряд этих вопросов дает основная теорема арифметики . Основная теорема арифметики утверждает, что любое целое число a , которое больше 1 , можно разложить на произведение простых множителей p 1 , p 2 , …, p n , при этом разложение имеет вид a=p 1 ·p 2 ·…·p n , причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей

Каноническое разложение числа на простые множители

В разложении числа простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записать более компактно, используя . Пусть в разложении числа a простой множитель p 1 встречается s 1 раз, простой множитель p 2 – s 2 раз, и так далее, p n – s n раз. Тогда разложение на простые множители числа a можно записать как a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n . Такая форма записи представляет собой так называемое каноническое разложение числа на простые множители .

Приведем пример канонического разложения числа на простые множители. Пусть нам известно разложение 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11 , его каноническая форма записи имеет вид 609 840=2 4 ·3 2 ·5·7·11 2 .

Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа .

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа .

Суть процесса разложения целого положительного и превосходящего единицу числа a понятна из доказательства основной теоремы арифметики . Смысл состоит в последовательном нахождении наименьших простых делителей p 1 , p 2 , …,p n чисел a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , что позволяет получить ряд равенств a=p 1 ·a 1 , где a 1 =a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , где a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , где a n =a n-1:p n . Когда получается a n =1 , то равенство a=p 1 ·p 2 ·…·p n даст нам искомое разложение числа a на простые множители. Здесь же следует заметить, что p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n .

Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет таблица простых чисел . Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z .

Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел (2 , 3 , 5 , 7 , 11 и так далее) и делим на них данное число z . Первое простое число, на которое z разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z . Здесь же следует напомнить, что если z не является простым числом, то его наименьший простой делитель не превосходит числа , где - из z . Таким образом, если среди простых чисел, не превосходящих , не нашлось ни одного делителя числа z , то можно делать вывод о том, что z – простое число (более подробно об этом написано в разделе теории под заголовком данное число простое или составное).

Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа 87 . Берем число 2 . Делим 87 на 2 , получаем 87:2=43 (ост. 1) (если необходимо, смотрите статью ). То есть, при делении 87 на 2 получается остаток 1 , поэтому 2 – не является делителем числа 87 . Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3 . Делим 87 на 3 , получаем 87:3=29 . Таким образом, 87 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является наименьшим простым делителем числа 87 .

Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем ). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем ).

Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители . Алгоритм разложения числа a таков:

Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p 1 числа a , после чего вычисляем a 1 =a:p 1 . Если a 1 =1 , то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a 1 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·a 1 и переходим к следующему шагу.
Находим наименьший простой делитель p 2 числа a 1 , для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p 1 , после чего вычисляем a 2 =a 1:p 2 . Если a 2 =1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 . Если же a 2 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·p 2 ·a 2 и переходим к следующему шагу.
Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 , находим наименьший простой делитель p 3 числа a 2 , после чего вычисляем a 3 =a 2:p 3 . Если a 3 =1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Если же a 3 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 и переходим к следующему шагу.
Находим наименьший простой делитель p n числа a n-1 , перебирая простые числа, начиная с p n-1 , а также a n =a n-1:p n , причем a n получается равно 1 . Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a 1 , a 2 , …, a n , а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p 1 , p 2 , …, p n .

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители . При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

Пример.

Разложите число 78 на простые множители.

Решение.

Начинаем поиск первого наименьшего простого делителя p 1 числа a=78 . Для этого начинаем последовательно перебирать простые числа из таблицы простых чисел. Берем число 2 и делим на него 78 , получаем 78:2=39 . Число 78 разделилось на 2 без остатка, поэтому p 1 =2 – первый найденный простой делитель числа 78 . В этом случае a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Так мы приходим к равенству a=p 1 ·a 1 имеющему вид 78=2·39 . Очевидно, что a 1 =39 отлично от 1 , поэтому переходим ко второму шагу алгоритма.

Теперь ищем наименьший простой делитель p 2 числа a 1 =39 . Начинаем перебор чисел из таблицы простых чисел, начиная с p 1 =2 . Делим 39 на 2 , получаем 39:2=19 (ост. 1) . Так как 39 не делится нацело на 2 , то 2 не является его делителем. Тогда берем следующее число из таблицы простых чисел (число 3 ) и делим на него 39 , получаем 39:3=13 . Следовательно, p 2 =3 – наименьший простой делитель числа 39 , при этом a 2 =a 1:p 2 =39:3=13 . Имеем равенство a=p 1 ·p 2 ·a 2 в виде 78=2·3·13 . Так как a 2 =13 отлично от 1 , то переходим к следующему шагу алгоритма.

Здесь нам нужно отыскать наименьший простой делитель числа a 2 =13 . В поисках наименьшего простого делителя p 3 числа 13 будем последовательно перебирать числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 =3 . Число 13 не делится на 3 , так как 13:3=4 (ост. 1) , также 13 не делится на 5 , 7 и на 11 , так как 13:5=2 (ост. 3) , 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2) . Следующим простым числом является 13 , и на него 13 делится без остатка, следовательно, наименьший простой делитель p 3 числа 13 есть само число 13 , и a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Так как a 3 =1 , то этот шаг алгоритма является последним, а искомое разложение числа 78 на простые множители имеет вид 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Ответ:

78=2·3·13 .

Пример.

Представьте число 83 006 в виде произведения простых множителей.

Решение.

На первом шаге алгоритма разложения числа на простые множители находим p 1 =2 и a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , откуда 83 006=2·41 503 .

На втором шаге выясняем, что 2 , 3 и 5 не являются простыми делителями числа a 1 =41 503 , а число 7 – является, так как 41 503:7=5 929 . Имеем p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Таким образом, 83 006=2·7·5 929 .

Наименьшим простым делителем числа a 2 =5 929 является число 7 , так как 5 929:7=847 . Таким образом, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , откуда 83 006=2·7·7·847 .

Дальше находим, что наименьший простой делитель p 4 числа a 3 =847 равен 7 . Тогда a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , поэтому 83 006=2·7·7·7·121 .

Теперь находим наименьший простой делитель числа a 4 =121 , им является число p 5 =11 (так как 121 делится на 11 и не делится на 7 ). Тогда a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , и 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Наконец, наименьший простой делитель числа a 5 =11 – это число p 6 =11 . Тогда a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Так как a 6 =1 , то этот шаг алгоритма разложения числа на простые множители является последним, и искомое разложение имеет вид 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Полученный результат можно записать как каноническое разложение числа на простые множители 83 006=2·7 3 ·11 2 .

Ответ:

83 006=2·7·7·7·11·11=2·7 3 ·11 2 991 – простое число. Действительно, оно не имеет ни одного простого делителя, не превосходящего ( можно грубо оценить как , так как очевидно, что 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Ответ:

897 924 289=937·967·991 .

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

В простых случаях разложить число на простые множители можно без использования алгоритма разложения из первого пункта данной статьи. Если числа не большие, то для их разложения на простые множители часто достаточно знать и признаки делимости . Приведем примеры для пояснения.

Например, нам требуется разложить на простые множители число 10 . Из таблицы умножения мы знаем, что 2·5=10 , а числа 2 и 5 очевидно простые, поэтому разложение на простые множители числа 10 имеет вид 10=2·5 .

Еще пример. При помощи таблицы умножения разложим на простые множители число 48 . Мы знаем, что шестью восемь – сорок восемь, то есть, 48=6·8 . Однако, ни 6 , ни 8 не являются простыми числами. Но мы знаем, что дважды три – шесть, и дважды четыре – восемь, то есть, 6=2·3 и 8=2·4 . Тогда 48=6·8=2·3·2·4 . Осталось вспомнить, что дважды два – четыре, тогда получим искомое разложение на простые множители 48=2·3·2·2·2 . Запишем это разложение в канонической форме: 48=2 4 ·3 .

А вот при разложении на простые множители числа 3 400 можно воспользоваться признаками делимости. Признаки делимости на 10, 100 позволяют утверждать, что 3 400 делится на 100 , при этом 3 400=34·100 , а 100 делится на 10 , при этом 100=10·10 , следовательно, 3 400=34·10·10 . А на основании признака делимости на 2 можно утверждать, что каждый из множителей 34 , 10 и 10 делится на 2 , получаем 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5 . Все множители в полученном разложении являются простыми, поэтому это разложение является искомым. Осталось лишь переставить множители, чтобы они шли в порядке возрастания: 3 400=2·2·2·5·5·17 . Запишем также каноническое разложение данного числа на простые множители: 3 400=2 3 ·5 2 ·17 .

При разложении данного числа на простые множители можно использовать по очереди и признаки делимости и таблицу умножения. Представим число 75 в виде произведения простых множителей. Признак делимости на 5 позволяет нам утверждать, что 75 делится на 5 , при этом получаем, что 75=5·15 . А из таблицы умножения мы знаем, что 15=3·5 , поэтому, 75=5·3·5 . Это и есть искомое разложение числа 75 на простые множители.

Список литературы.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Виноградов И.М. Основы теории чисел.
Михелович Ш.Х. Теория чисел.
Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.

Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.

Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.

Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом — из-за 3-х составных слагаемых.

Некоторые другие виды многочленов:

линейный двучлен (6x+8);
кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).

Разложение квадратного трехчлена на множители

Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.

Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.

Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.

Формулы для разных значений дискриминанта различаются.

Если D положительный:

Если D равен нулю:

Онлайн калькуляторы

В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.

Полезное видео: Разложение квадратного трехчлена на множители

Примеры

Предлагаем просмотреть простые примеры, как разложить квадратное уравнение на множители.

Пример 1

Здесь наглядно показано, что в результате получится два x, потому что D положительный. Их и нужно подставить в формулу. Если корни получились отрицательные, знак в формуле меняется на противоположный.

Нам известна формула разложения квадратного трехчлена на множители: a(x-x1)(x-x2). Ставим значения в скобки: (x+3)(x+2/3). Перед слагаемым в степени нет числа. Это значит, что там единица, она опускается.

Пример 2

Этот пример наглядно показывает, как решать уравнение, имеющее один корень.

Подставляем получившееся значение:

Пример 3

Дано: 5x²+3x+7

Сначала вычислим дискриминант, как в предыдущих случаях.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.

После получения результата стоит раскрыть скобки и проверить результат. Должен появиться исходный трехчлен.

Альтернативный способ решения

Некоторые люди так и не смогли подружиться с дискриминантом. Можно еще одним способом произвести разложение квадратного трехчлена на множители. Для удобства способ показан на примере.

Дано: x²+3x-10

Мы знаем, что должны получиться 2 скобки: (_)(_). Когда выражение имеет такой вид: x²+bx+c, в начале каждой скобки ставим x: (x_)(x_). Оставшиеся два числа – произведение, дающее «c», т. е. в этом случае -10. Узнать, какие это числа, можно только методом подбора. Подставленные числа должны соответствовать оставшемуся слагаемому.

К примеру, перемножение следующих чисел дает -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Нет.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Нет.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Нет.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Подходит.

Значит, преобразование выражения x2+3x-10 выглядит так: (x-2)(x+5).

Важно! Стоит внимательно следить за тем, чтобы не перепутать знаки.

Разложение сложного трехчлена

Если «a» больше единицы, начинаются сложности. Но все не так трудно, как кажется.

Чтобы выполнить разложение на множители, нужно сначала посмотреть, возможно ли что-нибудь вынести за скобку.

Например, дано выражение: 3x²+9x-30. Здесь выносится за скобку число 3:

3(x²+3x-10). В результате получается уже известный трехчлен. Ответ выглядит так: 3(x-2)(x+5)

Как раскладывать, если слагаемое, которое находится в квадрате отрицательное? В данном случае за скобку выносится число -1. К примеру: -x²-10x-8. После выражение будет выглядеть так:

Схема мало отличается от предыдущей. Есть лишь несколько новых моментов. Допустим, дано выражение: 2x²+7x+3. Ответ также записывается в 2-х скобках, которые нужно заполнить (_)(_). Во 2-ю скобку записывается x, а в 1-ю то, что осталось. Это выглядит так: (2x_)(x_). В остальном повторяется предыдущая схема.

Число 3 дают числа:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Решаем уравнения, подставляя данные числа. Подходит последний вариант. Значит, преобразование выражения 2x²+7x+3 выглядит так: (2x+1)(x+3).

Другие случаи

Преобразовать выражение получится не всегда. При втором способе решение уравнения не потребуется. Но возможность преобразования слагаемых в произведение проверяется только через дискриминант.

Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.

Полезное видео: разложение трехчлена на множители

Вывод

Пользоваться можно любым способом. Но лучше оба отработать до автоматизма. Также научиться хорошо решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители нужно тем, кто собирается связать свою жизнь с математикой. На этом строятся все следующие математические темы.

Разложение многочленов на множители – это тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей – многочленов или одночленов.

Существует несколько способов разложения многочленов на множители.

Способ 1. Вынесение общего множителя за скобку.

Это преобразование основывается на распределительном законе умножения: ac + bc = c(a + b). Суть преобразования заключается в том, чтобы выделить в двух рассматриваемых компонентах общий множитель и «вынести» его за скобки.

Разложим на множители многочлен 28х 3 – 35х 4 .

Решение.

1. Находим у элементов 28х 3 и 35х 4 общий делитель. Для 28 и 35 это будет 7; для х 3 и х 4 – х 3 . Иными словами, наш общий множитель 7х 3 .

2. Каждый из элементов представляем в виде произведения множителей, один из которых
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.

3. Выносим за скобки общий множитель
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).

Способ 2. Использование формул сокращенного умножения. «Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заметить в выражении одну из формул сокращенного умножения.

Разложим на множители многочлен х 6 – 1.

Решение.

1. К данному выражению мы можем применить формулу разности квадратов. Для этого представим х 6 как (х 3) 2 , а 1 как 1 2 , т.е. 1. Выражение примет вид:
(х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1).

2. К полученному выражению мы можем применить формулу суммы и разности кубов:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Итак,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Способ 3. Группировка. Способ группировки заключается в объединение компонентов многочлена таким образом, чтобы над ними было легко совершать действия (сложение, вычитание, вынесение общего множителя).

Разложим на множители многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15.

Решение.

1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15).

2. В получившемся выражении вынесем общие множители за скобки: х 2 в первом случае и 5 – во втором.
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3).

3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)(х 2 + 5).

Итак,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5).

Закрепим материал.

Разложить на множители многочлен a 2 – 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Раскроем скобки и получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 .

2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий с 4-ым. Получим:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Вынесем за скобки общие множители:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).

4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

Итак,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= а(а – 3b) – 4b(а – 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Понятия "многочлен" и "разложение многочлена на множители" по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.

Понятие многочлена

Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.

Например, 2 * x * y - это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 - многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.

Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.

Группировка (запись в общем виде)

Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй - d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.

Алгоритм разложения на конкретном примере

Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b)

В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую - со множителем b. Обратите внимание на знаки + и - в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.

На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку - значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.

В нашем случае - только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке - это а, во второй - b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и - Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Получилось 2 слагаемых: 5а(2c - 5) и 7b(2c - 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с - 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:

5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Итак, полное выражение:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Таким образом, многочлен 10ас + 14bc - 25a - 35b раскладываается на 2 множителя: (2c - 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать

Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:

5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:

5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)

Формулы квадратов

Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - формула, получившая название "квадрат суммы", так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
a 2 - b 2 = (a + b)(а - b) - это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.

Примеры на вычисления по формулам квадратов

Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:

25x 2 + 20xy + 4y 2 - используем формулу "квадрат суммы".
25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху - удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 - это квадрат 2у.
Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).

Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:

25а 2 - 400 = (5а - 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
36х 2 - 25у 2 = (6х - 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
с 2 - 169b 2 = (с - 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2

Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В данном примере а 8 можно представить как (a 4) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 - это 5 2 , а 10а 4 - это удвоенное произведениеслагаемых2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.

Формулы кубов

Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:

a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 - ab + b 2) - эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
a 3 - b 3 = (а - b)(a 2 + ab + b 2) - формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название "куб разности".

Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении - при раскрытии скобок.

Примеры на формулы кубов

Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2).

Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 - это (4а) 3 , а 8b 3 - это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.

Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 - это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.

На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.