Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.

Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:

1. Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует

Системы линейных уравнений. Лекция 6.

Системы линейных уравнений.

Основные понятия.

Система видa

называется системой - линейных уравнений с неизвестными .

Числа , , называются коэффициентами системы .

Числа , называются свободными членами системы , – переменными системы . Матрица

называется основной матрицей системы , а матрица

– расширенной матрицей системы . Матрицы - столбцы

И - соответственно матрицами свободных членов и неизвестных системы . Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде . Решением системы называется значений переменных , при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы - столбца . Тогда справедливо матричное равенство .

Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения.

Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение.

Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение

Теорема Кронекера – Копелли.

Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными

(1)

Теорема 2 . Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной (.

Теорема 3 . Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4 . Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Правила решения систем.

3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы.

4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных.

Методы решения систем линейных уравнений.

Метод обратной матрицы.

причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде

где , , .

Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу

Так как , то получаем , откуда получаем равенство для нахождения неизвестных

Пример 27. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений

Решение. Обозначим через основную матрицу системы

.

Пусть , тогда решение найдем по формуле .

Вычислим .

Так как , то и система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения

, ,

, ,

, ,

, ,

Таким образом

.

Сделаем проверку

.

Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных .

.

Сравнивая значения матриц, получим ответ: .

Метод Крамера.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными

причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем решение системы в матричном виде или

Обозначим

. . . . . . . . . . . . . . ,

Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера .

Пример 28. Решить методом Крамера следующую систему линейных уравнений .

Решение. Найдем определитель основной матрицы системы

.

Так как , то , система имеет единственное решение.

Найдем остальные определители для формул Крамера

,

,

.

По формулам Крамера находим значения переменных

Метод Гаусса.

Метод заключается в последовательном исключении переменных.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:

На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду

,

где , которой соответствует система

После этого переменные считаются свободными и в каждом уравнении переносятся в правую часть.

На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется в уравнение. Из этого уравнения

выражается переменная . Этот процесс продолжается до первого уравнения. В результате получается выражение главных переменных через свободные переменные .

Пример 29. Решить методом Гаусса следующую систему

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду

.

Так как больше числа неизвестных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений. Запишем систему для ступенчатой матрицы

Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Переменные

Будут базисными а переменная – свободной. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть

Из последнего уравнения выражаем

Подставив это значение в предпоследнее второе уравнение, получим

откуда . Подставив значения переменных и в первое уравнение, найдем . Ответ запишем в следующем виде

Ещё в школе каждый из нас изучал уравнения и, наверняка, системы уравнений. Но не многие знают, что существует несколько способов их решения. Сегодня мы подробно разберём все методы решения системы линейных алгебраических уравнений, которые состоят более чем из двух равенств.

История

На сегодняшний день известно, что искусство решать уравнения и их системы зародилось ещё в Древнем Вавилоне и Египте. Однако равенства в их привычном для нас виде появились после возникновения знака равенства "=", который был введён в 1556 году английским математиком Рекордом. Кстати, этот знак был выбран не просто так: он означает два параллельных равных отрезка. И правда, лучшего примера равенства не придумать.

Основоположником современных буквенных обозначений неизвестных и знаков степеней является французский математик Однако его обозначения значительно отличались от сегодняшних. Например, квадрат неизвестного числа он обозначал буквой Q (лат."quadratus"), а куб - буквой C (лат. "cubus"). Эти обозначения сейчас кажутся неудобными, но тогда это был наиболее понятный способ записать системы линейных алгебраических уравнений.

Однако недостатком в тогдашних методах решения было то, что математики рассматривали только положительные корни. Возможно, это связано с тем, что отрицательные значения не имели никакого практического применения. Так или иначе, но первыми считать отрицательные корни начали именно итальянские математики Никколо Тарталья, Джероламо Кардано и Рафаэль Бомбелли в 16 веке. А современный вид, основной метод решения (через дискриминант) был создан только в 17 веке благодаря работам Декарта и Ньютона.

В середине 18 века швейцарский математик Габриэль Крамер нашёл новый способ для того, чтобы сделать решение систем линейных уравнений проще. Этот способ был впоследствии назван его именем и по сей день мы пользуемся им. Но о методе Крамера поговорим чуть позднее, а пока обсудим линейные уравнения и методы их решения отдельно от системы.

Линейные уравнения

Линейные уравнения - самые простые равенства с переменной (переменными). Их относят к алгебраическим. записывают в общем виде так: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +...а n *x n =b. Представление их в этом виде нам понадобится при составлении систем и матриц далее.

Системы линейных алгебраических уравнений

Определение этого термина такое: это совокупность уравнений, которые имеют общие неизвестные величины и общее решение. Как правило, в школе все решали системы с двумя или даже тремя уравнениями. Но бывают системы с четырьмя и более составляющими. Давайте разберёмся сначала, как следует их записать так, чтобы в дальнейшем было удобно решать. Во-первых, системы линейных алгебраических уравнений будут выглядеть лучше, если все переменные будут записаны как x с соответствующим индексом: 1,2,3 и так далее. Во-вторых, следует привести все уравнения к каноническому виду: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +...а n *x n =b.

После всех этих действий мы можем начать рассказывать, как находить решение систем линейных уравнений. Очень сильно для этого нам пригодятся матрицы.

Матрицы

Матрица - это таблица, которая состоит из строк и столбцов, а на их пересечении находятся её элементы. Это могут быть либо конкретные значения, либо переменные. Чаще всего, чтобы обозначить элементы, под ними расставляют нижние индексы (например, а 11 или а 23). Первый индекс означает номер строки, а второй - столбца. Над матрицами, как и над любым другим математическим элементом можно совершать различные операции. Таким образом, можно:

2) Умножать матрицу на какое-либо число или вектор.

3) Транспонировать: превращать строчки матрицы в столбцы, а столбцы - в строчки.

4) Умножать матрицы, если число строк одной их них равно количеству столбцов другой.

Подробнее обсудим все эти приёмы, так как они пригодятся нам в дальнейшем. Вычитание и сложение матриц происходит очень просто. Так как мы берём матрицы одинакового размера, то каждый элемент одной таблицы соотносится с каждым элементом другой. Таким образом складываем (вычитаем) два этих элемента (важно, чтобы они стояли на одинаковых местах в своих матрицах). При умножении матрицы на число или вектор необходимо просто умножить каждый элемент матрицы на это число (или вектор). Транспонирование - очень интересный процесс. Очень интересно иногда видеть его в реальной жизни, например, при смене ориентации планшета или телефона. Значки на рабочем столе представляют собой матрицу, а при перемене положения она транспонируется и становится шире, но уменьшается в высоте.

Разберём ещё такой процесс, как Хоть он нам и не пригодится, но знать его будет всё равно полезно. Умножить две матрицы можно только при условии, что число столбцов одной таблицы равно числу строк другой. Теперь возьмём элементы строчки одной матрицы и элементы соответствующего столбца другой. Перемножим их друг на друга и затем сложим (то есть, например, произведение элементов a 11 и а 12 на b 12 и b 22 будет равно: а 11 *b 12 + а 12 *b 22). Таким образом, получается один элемент таблицы, и аналогичным методом она заполняется далее.

Теперь можем приступить к рассмотрению того, как решается система линейных уравнений.

Метод Гаусса

Этой тему начинают проходить еще в школе. Мы хорошо знаем понятие "система двух линейных уравнений" и умеем их решать. Но что делать, если число уравнений больше двух? В этом нам поможет

Конечно, этим методом удобно пользоваться, если сделать из системы матрицу. Но можно и не преобразовывать её и решать в чистом виде.

Итак, как решается этим методом система линейных уравнений Гаусса? Кстати, хоть этот способ и назван его именем, но открыли его ещё в древности. Гаусс предлагает следующее: проводить операции с уравнениями, чтобы в конце концов привести всю совокупность к ступенчатому виду. То есть, нужно, чтобы сверху вниз (если правильно расставить) от первого уравнения к последнему убывало по одному неизвестному. Иными словами, нужно сделать так, чтобы у нас получилось, скажем, три уравнения: в первом - три неизвестных, во втором - два, в третьем - одно. Тогда из последнего уравнения мы находим первое неизвестное, подставляем его значение во второе или первое уравнение, и далее находим оставшиеся две переменные.

Метод Крамера

Для освоения этого метода жизненно необходимо владеть навыками сложения, вычитания матриц, а также нужно уметь находить определители. Поэтому, если вы плохо всё это делаете или совсем не умеете, придется поучиться и потренироваться.

В чём суть этого метода, и как сделать так, чтобы получилась система линейных уравнений Крамера? Всё очень просто. Мы должны построить матрицу из численных (практически всегда) коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений. Для этого просто берём числа перед неизвестными и расставляем в таблицу в том порядке, как они записаны в системе. Если перед числом стоит знак "-", то записываем отрицательный коэффициент. Итак, мы составили первую матрицу из коэффициентов при неизвестных, не включая числа после знаков равенства (естественно, что уравнение должно быть приведено к каноническому виду, когда справа находится только число, а слева - все неизвестные с коэффициентами). Затем нужно составить ещё несколько матриц - по одной для каждой переменной. Для этого заменяем в первой матрице по очереди каждый столбец с коэффициентами столбцом чисел после знака равенства. Таким образом получаем несколько матриц и далее находим их определители.

После того как мы нашли определители, дело за малым. У нас есть начальная матрица, и есть несколько полученных матриц, которые соответствуют разным переменным. Чтобы получить решения системы, мы делим определитель полученной таблицы на определитель начальной таблицы. Полученное число и есть значение одной из переменных. Аналогично находим все неизвестные.

Другие методы

Существует ещё несколько методов для того, чтобы получить решение систем линейных уравнений. Например, так называемый метод Гаусса-Жордана, который применяется для нахождения решений системы квадратных уравнений и тоже связан с применением матриц. Существует также метод Якоби для решения системы линейных алгебраических уравнений. Он легче всех адаптируется для компьютера и применяется в вычислительной технике.

Сложные случаи

Сложность обычно возникает, если число уравнений меньше числа переменных. Тогда можно наверняка сказать, что, либо система несовместна (то есть не имеет корней), или количество её решений стремится к бесконечности. Если у нас второй случай - то нужно записать общее решение системы линейных уравнений. Оно будет содержать как минимум одну переменную.

Заключение

Вот мы и подошли к концу. Подведём итоги: мы разобрали, что такое система и матрица, научились находить общее решение системы линейных уравнений. Помимо этого рассмотрели другие варианты. Выяснили, как решается система линейных уравнений: метод Гаусса и Поговорили о сложных случаях и других способах нахождения решений.

На самом деле эта тема гораздо более обширна, и если вы хотите лучше в ней разобраться, то советуем почитать больше специализированной литературы.

Мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений .
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна , то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Пример 1

Решение : чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ :

Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Пример 2

Решить однородную систему линейных уравнений

Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:

Пример 7

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.

Решение : запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.

(1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2.

(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.

В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:

– базисные переменные;
– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:

– подставим в 1-е уравнение:

Таким образом, общее решение:

Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Подставим тройку значений в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.

Для тройки значений находим вектор

И, наконец, для тройки получаем третий вектор:

Ответ : , где

Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки и получить ответ в эквивалентном виде:

К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную , и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.

Второй вариант решения :

Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные . Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:

Системы линейных алгебраических уравнений

1. Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида

(4.1)

Решением системы (4.1) называется такая совокупность n чисел

При подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.

Например, система уравнений совместная и определенная, так как имеет единственное решение ; система

несовместная, а система совместная и неопределенная, так как имеет более одного решения .

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две несовместные системы считаются эквивалентными.

Основной матрицей СЛАУ (4.1) называется матрица А размера , элементами которой являются коэффициенты при неизвестных данной системы, то есть

.

Матрицей неизвестных СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец Х, элементами которой являются неизвестные системы (4.1):

Матрицей свободных членов СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец В, элементами которой являются свободные члены данной СЛАУ:

С учетом введенных понятий СЛАУ (4.1) можно записать в матричном виде или

.(4.2)

2. Решение систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы

Перейдем к изучению СЛАУ (4.1), которой соответствует матричное уравнение (4.2). Сначала рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений данной системы () и , то есть основная матрица системы невырождена. В этом случае, согласно предыдущему пункту, для матрицы существует единственная обратная матрица . Ясно, что она согласована с матрицами и . Покажем это. Для этого умножим слева обе части матричного уравнения (4.2) на матрицу :

Следовательно, с учетом свойств умножения матриц получаем

Так как , а , тогда

.(4.3)

Убедимся, что найденное значение является решением исходной системы. Подставив (4.3) в уравнение (4.2), получим , откуда имеем .

Покажем, что это решение единственное. Пусть матричное уравнение (4.2) имеет другое решение , которое удовлетворяет равенству

Покажем, что матрица равна матрице

С этой целью умножим предыдущее равенство слева на матрицу .

В результате получим

Такое решение системы уравнений с неизвестными называется решением системы (4.1) методом обратной матрицы.

Пример. Найти решение системы

.

Выпишем матрицу системы:

,

Для этой матрицы ранее (занятие 1) мы уже нашли обратную:

или

Здесь мы вынесли общий множитель , так как нам в дальнейшем нужно будет произведение .

Ищем решение по формуле: .

3. Правило и формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными

От матричной формы (4.3) перейдем к более удобным и в ряде случаев более простым при решении прикладных задач формулам для нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений.

Учитывая равенство , или в развернутом виде

.

Таким образом, после перемножения матриц получаем:

или

.

Заметим, что сумма есть разложение определителя

по элементам первого столбца, который получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Таким образом, можно сделать вывод, что

Аналогично: , где получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов, .

Следовательно, нами найдено решение заданной системы по равенствам

, , ,

известным и как формулы Крамера.

Для нахождения решения СЛАУ, последние равенства можно записать в общем виде следующим образом:

.(4.4)

Согласно этим формулам, имеем правило Крамера для решения СЛАУ:

- по матрице системы вычисляется определитель системы ;

- если , то в матрице системы каждый столбец последовательно заменяется столбцом свободных членов и вычисляются определители получаемых при этом матриц;

- решение системы находится по формулам Крамера (4.4).

Пример. С помощью формул Крамера решить систему уравнений

Решение. Определитель данной системы

.

Так как , то формулы Крамера имеют смысл, то есть система имеет единственное решение. Находим определители:

, , .

Следовательно, по формулам (4.4) получаем:

, , .

Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.

Упражнение. Проверку этого факта сделайте самостоятельно.

Критерий совместности СЛАУ (теорема Кронекера-Капелли)

Расширенной матрицей системы (4.1) называется матрица, получаемая добавлением к основной матрице А справа столбца свободных членов с отделением его вертикальной чертой, то есть матрица

.

Заметим, что при появлении у матрицы новых столбцов ранг может увеличиться, следовательно . Расширенная матрица играет очень важную роль в вопросе совместности (разрешимости) системы уравнений. Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает теорема Кронекера-Капелли.

Сформулируем теорему Кронекера-Капелли (без доказательства).

Система линейных алгебраических уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы . Если – число неизвестных системы, то система имеет единственное решение, а если , то система имеет бесчисленное множество решений.

Опираясь на теорему Кронекера-Капелли, сформулируем алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:

1. Вычисляют ранги основной и расширенной матриц СЛАУ. Если , то система не имеет решений (несовместна).

2. Если , система совместна. В этом случае берут любой отличный от нуля минор основной матрицы порядка и рассматривают уравнений, коэффициенты которых входят в этот базисный минор, а остальные уравнения отбрасывают. Неизвестные коэффициенты, которые входят в этот базисный минор, объявляют главными или базисными, а остальные свободными (неосновными). Новую систему переписывают, оставляя в левых частях уравнений только члены, содержащие базисных неизвестных, а все остальные члены уравнений, содержащих неизвестных, переносят в правые части уравнений.

3. Находят выражения базисных неизвестных через свободные. Полученные решения новой системы с базисными неизвестными называются общим решением СЛАУ (4.1).

4. Придавая свободным неизвестным некоторые числовые значения, находят так называемые частные решения.

Проиллюстрируем применение теоремы Кронекера-Капелли и вышеприведенного алгоритма на конкретных примерах.

Пример. Определить совместность системы уравнений

Решение. Запишем матрицу системы и определим ее ранг.

Имеем:

Так как матрица имеет порядок , то наивысший порядок миноров равен 3. Число различных миноров третьего порядка Нетрудно убедиться, что все они равны нулю (проверьте самостоятельно). Значит, . Ранг основной матрицы равен двум, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например,

Ранг расширенной матрицы этой системы равен трем, так как существует отличный минор третьего порядка этой матрицы, например,

Таким образом, согласно критерию Кронекера-Капелли, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример. Исследовать совместность системы уравнений

Решение. Ранг основной матрицы этой системы равен двум, так как, например, минор второго порядка равен

а все миноры третьего порядка основной матрицы равны нулю. Ранг расширенной матрицы также равен двум, например,

а все миноры третьего порядка расширенной матрицы равны нулю (убедиться самостоятельно). Следовательно, система совместна.

Возьмем за базисный минор, например . В этот базисный минор не входят элементы третьего уравнения, поэтому ее отбрасываем.

Неизвестные и объявляем базисными, так как их коэффициенты входят в базисный минор, неизвестную объявляем свободной.

В первых двух уравнениях члены, содержащие переменную , перенесем в правые части. Тогда получим систему

Решаем эту систему с помощью формул Крамера.

,

.

Таким образом, общим решением исходной системы является бесконечное множество наборов вида ,

где – любое действительное число.

Частным решением данного уравнения будет, например, набор , получающийся при .

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решений СЛАУ является метод Гаусса. Метод Гаусса состоит из однотипных циклов, позволяющихпоследовательно исключать неизвестные СЛАУ. Первый цикл направлен на то, чтобы во всех уравнениях, начиная со второго, обнулить все коэффициенты при . Опишем первый цикл. Полагая, что в системе коэффициент (если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x 1 и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему (4.1) следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x 1 с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, на последнем шаге цикла умножим обе части первого уравнения на и сложим с последним уравнением системы. Первый цикл завершен, в результате получим эквивалентную систему

(4.5)

Замечание. Для удобства записи обычно используют расширенную матрицу системы. После первого цикла данная матрица принимает следующий вид:

(4.6)

Второй цикл является повторением первого цикла. Предположим, что коэффициент . Если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что . Первое и второе уравнение системы (4.5) перепишем в новую систему (в дальнейшем будем оперировать только расширенной матрицей).

Умножим второе уравнение (4.5) или вторую строку матрицы (4.6) на , сложим с третьим уравнением системы (4.5) или третьей строкой матрицы (4.6). Аналогично поступаем с остальными уравнениями системы. В результате получим эквивалентную систему:

(4.7)

Продолжая процесс последовательного исключения неизвестных, после шага, получим расширенную матрицу

(4.8)

Последние уравнений для совместной системы (4.1) являются тождествами . Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, следовательно, система (4.1) несовместна. В совместной системе при ее решении последние уравнений можно не рассматривать. Тогда полученная эквивалентная система (4.9) и соответствующая расширенная матрица (4.10) имеют вид

(4.9)

(4.10)

После отбрасывания уравнений, являющихся тождествами, число оставшихся уравнений может быть либо равно числу переменных , либо быть меньше числа переменных. В первом случае матрица имеет треугольный вид, а во втором – ступенчатый. Переход от системы (4.1) к равносильной ей системе (4.9) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из системы (4.9) – обратным ходом.

Пример. Решить систему методом Гаусса:

.

Решение. Расширенная матрица этой системы имеет вид

.

Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы: умножим первую строку на и сложим со второй строкой, а также умножим первую строку на и сложим с третьей строкой. Результатом будет расширенная матрица первого цикла (в дальнейшем все преобразования будем изображать в виде схемы)

.